Невязкой жидкости

Основные дифференциальные уравнения движения

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ

Глава четвертая

В потоке жидкости рассмотрим движение элементарного объема в форме параллелепипеда со сторонами dx,dy,dz (рис. 1).

Рис. 1

Напишем второй закон Ньютона для массы жидкости в этом объеме сначала в проекциях на ось Ox:

(4.1)

где масса , а проекция ускорения

.

Определим проекцию на ось Ox равнодействующих внешних сил. Проекция силы давления на боковую грань АВСД

dP_АВСДА=p·dy·dZ,

где p − среднее давление в пределах указанной грани.

Среднее давление в пределах грани

Следовательно, сила давления на эту грань

С учетом того что проекция на ось OX силы давления на другие грани параллелепипеда равна нулю, сумма проекций сил давления на боковые грани АВСД и будет равна

Проекция объемных сил на ось Ox можно представить в виде

где X –проекция ускорения на ось OX.

Подставляя выражение для проекций сил в формулу (1), получим

или после сокращения на , т.е. отнеся все члены уравнения к единице массы жидкости в рассматриваемом объеме,

Аналогичные уравнения можно написать и для других координатных осей. В результате получим следующую систему уравнений

(4.2)

которая называется системой уравнений Л.Эйлера для движения сплошной среды.

В систему из трех уравнений входят четыре неизвестные функции: U_X,U_Y,U_Z и p. Поэтому для ее решения необходимо иметь еще одно уравнение, которое связало бы между собой названные функции. Таким уравнением является рассмотренное выше уравнение неразрывности (3.15).