Для установившегося движения жидкости

Интеграл Д. Бернулли

При установившемся движении частные производные скорости по времени равны нулю, т.е.

и уравнения (4.17) записываются в виде:

(4.22)

Умножив первое из уравнений (4.22) на проекцию перемещения частицы вдоль элементарной струйки за время dt, т.е. на dx, приведем его к виду

(4.23)

Преобразуем правую часть (4.23) с учетом того, что :

Но , и являются проекциями на оси OX, OY и OZ перемещения частицы жидкости вдоль элементарной струйки, т.е. соответственно равны dx, dy и dz, поэтому исследуемое выражение можно представить в виде

где −полный дифференциал компонента скорости частицы, определяемой вдоль элементарной струи.

Если , и заменяя на это выражение правую часть уравнения (4.23), получим

Аналогично второе и третье уравнения системы (4.22) можно привести к виду

;

Сложим полученные уравнения, группируя слагаемые соответствующим образом, и получим

Здесь U −полная скорость в данной точке.

Поскольку, по условию, силы имеют потенциал, то

где П - силовая функция.

Далее учтем, что при установившемся движении

и, следовательно,

. (4.24)

Проинтегрировав уравнение (4.24) вдоль линии тока, получим интеграл Бернулли для установившегося движения в виде

(4.25)

Это уравнение пригодно и для трубки тока, если скорости во всех точках сечения одинаковы и зависят только от S. Постоянная в правой части остается таковой вдоль линии тока и меняется при переходе от одной линии тока к другой.

Сравнивая интегралы Эйлера и Бернулли для установившегося движения, можно заметить, что они внешне одинаковы, однако в интеграле Эйлера постоянная одинакова для всего объема жидкости при безвихревом движении, а в интеграле Бернулли- только вдоль лини тока, а движение может быть вихревым.

Если движение происходит под действием силы тяжести, то силовая функция П=-gZ и уравнение (4.25) записываются в виде

(4.26)