Определение. Агрегат, построенный на множествах, определяется как отношение

Определение

Определение

Определение

Агрегат, построенный на множествах, определяется как отношение.

Отвлекаясь от интерпретации агрегации, получаем агрегат, построенный на множествах. В теории моделей данных широко используется аппарат математической теории множеств.

Пусть дана некоторая совокупность доменов D₁, D₂, …, D_m, не обязательно различных. Отношение, определенное на доменах D₁, D₂, …, D_m, есть множество упорядоченных кортежей <d₁, d₂, …, d_m>, таких, что d₁ ∈ D₁, d₂ ∈ D₂, …, d_m ∈ D_m.

Таким образом, отношение определяет соответствие между множествами.

Поскольку само отношение – тоже множество, как и любое множество, оно характеризуется интенсионалом и экстенсионалом. Интенсионал отношения определяется интенсионалами образующих его множеств. Экстенсионал отношения – конкретная реализация этого отношения.

Рассмотрим пример. Пусть даны следующие множества:

D1 = {d1_i | d1_i – строчная буква английского алфавита} – интенсионал множества, его экстенсионал, например, {a, b, c, d, e}

D2 = {d2_j | d2_j – десятичная цифра} – интенсионал множества, его экстенсионал, например, {1, 3, 5}

Определим на этих доменах отношение R:

R = {<d1_i, d2_j> | d1_i ∈ D1, d2_j ∈ D2} – интенсионал отношения; задает двух символьные кортежи, в которых первый символ – буква, второй – десятичная цифра. Экстенсионалом данного отношения может быть конкретное множество R1 = {<a,3>, <a,1>, <c,1>}.

Отношение можно охарактеризовать степенью и мощностью.

Степень отношения (или арность кортежа) – характеристика, относящаяся к интенсионалу отношения; количество образующих данное отношение множеств.

В приведенном выше примере отношение имеет степень 2.

Мощность отношения – характеристика, относящаяся к экстенсионалу отношения; количество элементов в конкретной реализации отношения.

В приведенном выше примере реализация отношения R1 имеет мощность 3.

В моделях данных термин отношение применяется к определению типа. Отношение R рассматривается как тип объекта, который соотносится с множеством знаков-кортежей. Все кортежи определены на одних и тех же доменах и обладают одинаковыми свойствами.

Поскольку модель данных отражает и динамические аспекты, эти отношения изменяются во времени, т.е. реализации отношений в разные моменты времени могут быть разными. В каждый момент времени реализация отношения представляет собой отношение в математическом смысле этого понятия.

Отношениям можно придать различную семантическую окраску. Например, каждый кортеж отношения можно соотнести с конкретным объектом реального мира – с сущностью. Так как атрибуты представляют семантически значимые объекты и их свойства, в определение отношения можно включить не просто домены, а именованные домены – атрибуты. В этом случае можно получить схему отношения: