Механика жидкостей и газов

Лекция 7

Уравнение Бернулли. Силы внутреннего трения. Коэффициент вязкости. Течение жидкости в круглой трубе. Критерий подобия. Формула Стокса.

Источники: Детлаф Яворский 2002 г., Пар. 3.5 С. 44-46.

Савельев

Лагранжев и Эйлеров способ описания движения. Поле векторов скорости, линии тока. Густота линий тока.

рис. 7.1. Линии тока

Если вектор скорости в каждой точке пространства остается по­стоянным, то течение называется установившимся, или стационарным. При стационарном течении любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одним и тем же значением v. Картина линий тока при стационарном течении остается неизменной, и линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Вектор v, будучи в каждой точке касательным к линии тока, будет касательным к поверхности трубки тока; следовательно, частицы жидкости при своем движении не пересекают стенок трубки тока.

рис. 7.2. Трубки тока

Возьмем трубку тока, настолько тонкую, что в каждом ее сечении скорость можно считать постоянной. Если жидкость несжимаема, то количество жидкости между сечениями S₁ и S₂ (рис. 3) будет оставаться неизменным. Отсюда следует, что объемы жидкости, протекающие за еди­ницу времени через сечения S₁ и S₂, должны быть одинаковы:

Приведенное выше рассуждение применимо к любой паре сечений S₁и S₂. Следовательно, для несжимаемой жидкости величина Sv в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинакова:

(7.1)

Выражение (7.1) представляет собой содержание теоремы о неразрывности струи.

Рассматривая движение жидкостей, во многих случаях можно считать, что перемещение одних частей жидкости относительно других не связано с возникновением сил трения.

Жидкость, в которой внутреннее трение (вязкость) полностью отсутствует, называется идеальной.

рис.7.3

Приращение энергии запишется следующим образом:

(7.2)

В идеальной жидкости силы трения отсутствуют. Поэтому приращение энергии (7.2) должно равняться работе, совершаемой над выделенным объемом силами давления. Отлична от нуля лишь работа сил, приложенных к сечениям S₁ и S₂. Эта работа равна

(7.3)

Приравнивая выражения (7.2) и (7.3), сокращая на DV и перенося члены с одинаковыми индексами в одну часть равенства, получим:

(7.4)

Полученный нами результат можно сформулировать следующим образом: в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие

(7.5)

Уравнение (7.4) или равнозначное ему уравнение (7.5) называется уравнением Бернулли.

Несмотря на то, что это уравнение было получено для идеальной жидкости, оно достаточно хорошо выполняется для реальных жидкостей, внутреннее трение в которых не очень велико.

Рассмотрим некоторые следствия, вытекающие изуравнения Бернулли. Пусть жидкость течет так, что скорость имеет во всех точках одинаковую величину. Тогда согласно (7.5) для двух произвольных точек лю­бой линии тока будет выполняться равенство

(7.6)

откуда следует, что распределение давления в этом случае будет таким же, как в покоящейся жидкости

Для горизонтальной линии тока условие (7.5) принимает вид

(7.7)

т. е. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше (качественно это уже было показано в предыдущем параграфе).