Автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением

Критерий Гурвица

Алгебраические критерии устойчивости.

,

устойчива, если при a₀ >0 положительны все определители ∆₁, ∆₂,...∆ _п вида

Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива. Если главный определитель ∆ _п =0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.

Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для n =1;2;3;4. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.

1. Для уравнения первого порядка (n =1)

условие устойчивости: а₀ >0 и ∆ ₁ = а₁ >0, т.е. для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля.

2. Для уравнения второго порядка (n =2)

условие устойчивости:

Т.о., и для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.

3. Для уравнения третьего порядка (n =3)

условие устойчивости:

При n =3 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля и произведение средних коэффициентов уравнения (а₁, а₂) было больше произведения крайних (а₀, а₃).

4. Для уравнения четвертого порядка (n =4)

кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия

.

При n =4 система будет устойчива при всех коэффициентах больших нуля и при

.

Т.о., для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель

∆ _п-1 были положительными.

Критерий Гурвица удобно использовать при n <5. При n >5 критерий Гурвица становится громоздким и применяют критерий Рауса.