Лекция 1. Основные положения

Теорию устойчивости можно отнести к наиболее сложным и большим разделам теории сооружений. Поэтому здесь ставится цель кратко, не углубляясь в выкладки, объяснить смысл основных положений теории.

В широком смысле устойчивым состоянием системы следует считать состояние, при котором малому изменению причины соответствует столь же малое изменение следствия.

Устойчивостью сооруженийназывается способность сохранять свое первоначальное положение или первоначальную форму деформирования.

Смысл задач устойчивости положения легко показать на примерах систем с одной степенью свободы.

Шар в лунке (рис. 1) устойчив, так как его малое смещение вызывает возвращающую силу, на вершине не устойчив, поскольку любое смещение вызывает скатывающую силу. На горизонтали шар находится в состоянии безразличного равновесия.

Рис. 1

Другой пример – устойчивость на опрокидывание (рис. 2).

Рис. 2

Объект устойчив пока опрокидывающий момент меньше удерживающего, или пока равнодействующая внешних сил (включая вес) направлена по линии, проходящей внутри опорного контура.

На рис. 3 показан сжимаемый силой N стержень шарнирно закрепленный на нижнем конце и упруго закрепленный от поворота на верхнем. Сила N приложена с эксцентриситетом “а”, что создает начальный отклоняющий момент Мо = N · а.

Рис. 3

Текущий эксцентриситет увеличивается за счет отклонения “Y”, поэтому текущий отклоняющий момент равен Мо = N · (Y + а). Удерживающий момент пропорционален удлинению пружины M = k · Y · L, где “k” – жесткость линейно упругой пружины. Из условия равновесия Mо = М, откуда

N = k · Y · L / (Y + a).

При а = 0 получим критическое значение сжимающей силы N

Nкр = k · L.

На рис. 4 показаны кривые равновесных состояний для данного примера.

Рис. 4

Точка “К” на графике соответствует силе N = Nкр. Она называется точкой бифуркации или разветвления форм равновесия. При а = 0 здесь становится возможной отклоненная форма равновесия, а первоначальная форма становится неустойчивой. Потерю устойчивости, связанную с бифуркацией,

называют потерей устойчивости первого рода или эйлеровой. Леонард Эйлер, работавший в Российской академии в ХVIII веке впервые поставил и решил задачу устойчивости формы деформирования упругого стержня под действием сжимающей силы (рис. 5).

Рис. 5

Упругий стержень является системой с бесконечным числом степеней свободы, поэтому теоретически имеет бесконечное число возможных форм

равновесия. При N = Nкр помимо прямолинейной реализуется первая смежная искривленная форма (см. рис. 5). Реализация второй и последующих форм требуют большей величины силы N.

Если в предыдущей задаче (рис. 3) применить нелинейно упругую пружину, то график равновесных состояний примет вид

Рис. 6.

В этом случае говорят о предельной нагрузке Nпр, которую находят из условия стационарности

dN/dy = 0.

Достижение силой N значения Nпр называют потерей устойчивости второго рода.

Потеря устойчивости в некоторых системах приводит к несмежным формам равновесия. К ним относятся в частности системы, прощелкивающиеся под нагрузкой. Простейшая из них – ферма Мизеса, показанная на рис. 7.

Рис. 7

Здесь под нагрузкой N происходит деформация сжатия элементов пояса и их прощелкивание вниз. Система приобретает новое устойчивое состояние, несмежное с начальным. Такое явление называют потерей устойчивости “в большом”.

Потеря устойчивости формы возможна не только для сжатого стержня. На рис. 8 показана изгибаемая поперечной силой балка с узким высоким поперечным сечением.

Рис. 8

Такая балка при критическом значении силы теряет устойчивость плоской формы деформирования. Здесь сила N стремится переместить конец балки вниз за счет плоского изгиба, но при N ≥ Nкр легче реализуется изгибно – крутильная форма деформирования. Впервые аналогичную задачу решил Л. Прандтль в1899г.

Устойчивость формы деформирования могут терять сжимаемые арки (рис. 9), оболочки (рис. 10), пластины (рис. 11). При этом могут реализоваться не только первые, но и другие формы потери устойчивости.

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

Если рассматривать перемещения, вызванные потерей устойчивости, в геометрически нелинейной постановке, в частности, исходя из точного выражения кривизны стержня

К = у"/[1+(у')²]^3/2

в эйлеровой задаче, то график равновесных состояний примет вид

Рис. 12

Сопоставление графиков равновесных состояний показывает, что при внецентренном сжатии учет физической нелинейности обеспечивает бо'льшую надежность, а учет геометрической нелинейности дает более экономичное решение, поскольку перемещения в первом случае будут больше, а во втором – меньше чем в линейной постановке.

Особый случай представляет продольный изгиб упруго-пластического стержня. Нагрузка и разгрузка здесь происходят по разным кривым равновесных состояний. Это обусловлено тем, что и диаграмма работы материала имеет ту же особенность (рис. 13).

Рис. 13

В этом случае задача устойчивости может быть решена исходя из диаграммы нагрузки как в задаче Эйлера, но с переменным модулем упругости, как это предложил Энгессер. Можно исходить из диаграммы разгрузки (концепция Шенли). При этом критическая сила окажется меньше. На рис. 14 показаны кривые равновесных состояний для упруго-пластического стержня.

Рис. 14

Здесь верхняя линия соответствует расчету с постоянным модулем упругости, равным начальному, то есть по Эйлеру, как для линейно упругого стержня. Средняя кривая получена по Энгессору, исходя из диаграммы нагрузки, а нижняя – по Шенли, то есть по диаграмме разгрузки. Фактически Шенли решает задачу не потери устойчивости при возрастающей нагрузке, а возврата системы к устойчивому состоянию при уменьшающейся нагрузке. Это всегда происходит при N* < N**.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1979.

2. Справочник проектировщика расчетно-теоретический, кн. 2. Стройиздат, М., 1973.

3. Болотин В. В. Проблемы устойчивости в строительной механике. Стройиздат, М., 1965.

4. Дарков А. В., Шапошников Н. Н., Строительная механика. М., “Высшая школа” 1986.