Рассмотрим теперь упрощения задачи, вытекающие из плоской конфигурации электродов. Для плоского случая все величины могут зависеть только от одной переменной х. Кроме того, для плоского диода в стационарном состоянии имеем
. (11.19)
При указанных условиях уравнение (9.18) принимает вид
(11.20)
или
, (11.21)
где
Помножив уравнение (11.21) на , получим
откуда первый интеграл уравнения (11.21) равен
, (9.22)
где С постоянная интегрирования. Определим величину С для случая
. (11.23)
Условие (11.23) при нулевых начальных энергиях электронов соответствует значениям . Из (11.22) и (11.23) получаем С = 0. Тогда
. (11.24)
Интегрируя уравнение (11.24), получим
,
где С ' постоянная интегрирования, которая определяется из условия V' = 0 при x = 0; отсюда С ' = 0. Тогда
.(11.25)
Подставляя в (11.25) значение B, получим
(11.26)
и, следовательно,
(11.27)
(11.28)
Распределения потенциала, напряженности поля и плотности объемных зарядов, определяемых уравнениями (11.26)(11.28), изображены на рис. 11.5.
Рис. 11.5
Подставляя в (11.26) х = d,найдем V в, необходимую для того, чтобы диод мог пропустить ток j '. С другой стороны, разрешив (11.26) относительно j ' и подставив в него также х = d,можно найти ток j ', который может протекать через диод при разности потенциалов V' в:
|
|
. (11.29)
Таким образом, формула (11.29) определяет «токовую пропускную способность» плоского диода при данном V' в. В случае, если определенный по (11.29) ток j ' < j' s, диод при выбранном значении j ' работает в режиме ограничения тока объемным зарядом. При j ' = j s . Таким образом, формула (11.29) является вольт-амперной характеристикой плоского диода при в приближении нулевых начальных энергий электронов. Подставляя численные значения входящих в (11.29) величин, выражая j ' в а × см 2, V' в вольтах и d в см, получим
, (11.30)
где М молекулярный вес вещества заряженных частиц, который для электронов равен 1/1840. Тогда для электронов имеем
.
Проанализируем теперь применимость полученных формул к реальным эмиттерам, у которых v 0 ¹ 0. Прежде всего заметим, что формулы выведены для случая . Для реального эмиттера это условие выполняется только для переходного режима, т. е. при . Далее, из формулы (11.28) следует, что r(0) = ¥. Этот результат вытекает уже из формулы (11.13) при v (0) = 0. В реальном диоде из-за наличия начальных скоростей у термоэлектронов приближенно имеем r(0) = , где средняя начальная скорость термоэлектронов. Так как V (х)и E (х)определяются r(x), то и значения потенциала и напряженности поля вблизи катода, описываемые формулами (11.26) и (11.27), также отличны от реальных. Поскольку в действительности r(x)у катода меньше ее теоретического значения, определяемого (11.28), то и значения V (х)и E (х)у катода в реальном эмиттере меньше значений, даваемых (11.26) и (11.27). Область указанных заметных отклонений простирается от катода на расстояния, где начальные энергии электронов сравнимы с энергиями, полученными в межэлектродном промежутке, т. е. eV' (x)» = kT. Так как составляют сотые или десятые доли эв,то при ,что во многих случаях имеет место, рассматриваемая область вблизи катода мала, так что для реальных диодов в большей части межэлектродного пространства найденные по (11.26)(11.28) значения r'(x), E' (х)и V' (х)мало отличаются от действительных. Что касается величины при фиксированном значении тока j s, то в силу сказанного выше она окажется несколько меньше, чем это следует по (11.29). Однако при это различие незначительно.
|
|
Таким образом, формула (11.29) достаточно хорошо определяет «токовуюпропускную способность» реального плоского диода для режима , если .
Обсудим теперь вопрос о возможности применения полученных формул для реального плоского диода при работе его в режиме ограничения тока объемным зарядом, т. е., когда (рис. 11.5). Обратим внимание на то, что в этом случае в плоскости х = хт выполняется условие . Следовательно, для области пространства от хт до d при условии, что ,можно использовать полученные выше формулы. Тогда «токовая пропускная способность» этой части диода приближенно определяется уравнением (11.29), в котором, очевидно, следует заменить величиной ,a d величиной d xm,т. е.
(11.31)
При и xm = d формула (11.31) совпадает с (11.29). Указанные неравенства при ,как будет показано в следующем параграфе, обычно выполняются.
Рис. 11.5
Таким образом, формула (11.31) (или менее точная формула (11.29)) приближенно является вольт-амперной характеристикой реального плоского диода при . Это означает, что при работе реального плоского диода в режиме ограничения тока объемным зарядом при данном в межэлектродном пространстве возникает потенциальный барьер, который обеспечивает прохождение через него такой доли тока эмиссии катода j s, которая примерно находится в соответствии с законом (11.29). При eV в ,лишь несколько превосходящих kТ или сравнимых с kТ,вольт-амперная характеристика описывается формулами, отличными от полученных выше.
Отметим, что при учете начальных скоростей становится ясным механизм, который делит эмитируемый катодом поток электронов на два: поток, проходящий через диод, и поток, который возвращается на катод. Именно величина начальной скорости электрона определяет, пройдет ли электрон над потенциальным барьером.