Уравнение переходных состояний для дискретно-непрерывных систем

Рис. 3.33.

Рис. 3.32.

Описание дискретно-непрерывных систем методом пространства состояний.

Рассмотрим описание в пространстве состояния следующей системы (рис. 3.32.)

Пусть непрерывная часть представлена передаточной функцией:

(3.42)

а дискретная часть – дискретной передаточной функцией:

(3.43)

Схема переменных состояния имеет вид:

-

-

При описании дискретно-непрерывных систем следует различать два момента:

· Описание системы в момент замыкания ключей (в этот момент срабатывает дискретная часть системы, непрерывная часть, являясь инерционной, не изменяется)

· Поведение системы в промежутке времени между замыканием ключей характеризуется изменением непрерывной части. Дискретная часть, благодаря фиксаторам, остается неизменной.

Чисто математически описание системы в момент замыкания ключей определяется матрицей B – матрицей ключей.

Описание системы в промежутке между замыканием ключей определяется матрицей А – матрицей коэффициентов.

Выбираем обобщенный вектор:

В момент замыкания ключей система описывается следующей системой:

(3.44)

Матрица ключей имеет вид:

В векторно-матричном виде описание имеет вид:

(3.45)

В момент между замыканием ключей

(3.46)

Как видно из описания переменные дискретной части остаются постоянными в течение всего времени , так как фиксаторы, работающие по принципу экстраполяторов нулевого порядка, сохраняют значение постоянными в течение всего интервала квантования. Входная переменная обычно имеет вид ступенчатого сигнала, поэтому также остается постоянной. Изменяются переменные , являющиеся переменными непрерывной части.

Описание в векторно-матричном виде:

(3.47)

или с использованием матрицы перехода:

(3.48)

Рассмотрим описание дискретно-непрерывной системы в течение интервала времени .

В первый момент (момент замыкания ключей ) система описывается с помощью матрицы ключей

. (49)

В момент между первым и вторым замыканием ключей, т. е. на интервале времени поведение системы описывается с помощью матрицы перехода

(3.50)

или

(3.51)

Введем матрицу - дискретную матрицу перехода. Тогда справедливо:

(3.52)

В момент замыкания ключей система описывается:

(3.53)

В момент между вторым и третьим замыканием ключей, т. е. на интервале времени поведение системы описывается:

(3.54)

Нетрудно заметить, что в момент времени поведение системы будет писываться следующим уравнением:

(3.55)

Данное уравнение называется уравнением переходных состояний и позволяет на основе известных матриц ключей и матрицы перехода в любой момент времени вычислить вектор состояния дискретно-непрерывной системы.