Оптимальное поведение и его формализация в экономико-математических моделях

Общая схема принятия решений. Виды и параметры экономических задач оптимизации и управления

Любая задача по принятию решений характеризуется наличием некоторого количества лиц, которые имеют определенные возможности и преследуют определенные цели. Поэтому чтобы построить модель принятия решений необходимо ответить на вопросы:

· кто принимает решения;

· каковы цели принятия решения;

· в чем состоит принятие решения;

· определить круг вариантов;

· при каких условиях принимается решение.

Для того чтобы построить модель, нужно ввести некоторые обозначения.

N – это множество всех сторон, принимающих решение. N=(1; n), т.е. имеется n участников. Каждый участник называется лицом, принимающим решение (физическое лицо, юридическое лицо).

Допустим, множество всех допустимых решений предварительно изучено и описано в виде неравенства (математически).

Если обозначить через х₁, х₂,…,х_n представленные альтернативы, то процесс принятия решения сводится к следующему: каждое лицо выбирает конкретный элемент из всего множества решений, т. е. .

В результате набор х₁, х₂,…,х_n можно назвать определенной ситуацией.

Для оценки вектора с точки зрения преследуемых целей строится функция , которая называется целевой функцией, которая ставит в соответствие каждой ситуации числовые значения (оценки) . Например, доходы фирм в ситуации либо затраты тех же фирм в данной ситуации.

Исходя из вышесказанного, цель i -ого лица, принимающего решение можно сформулировать так: выбрать такое , чтобы в ситуации х число будет либо максимальным, либо минимальным.

Однако влияние на данную ситуацию других сторон усложняет процесс, т.е. происходит пересечение интересов отдельных лиц. Возникает конфликтность, которая выражается в том, что функция помимо х_i зависит еще и от x_j, . Поэтому в моделях принятия решений с несколькими участниками их цели приходится формализовать иначе, чем максимизация (минимизация) значений функции .

Таким образом, общая схема задачи по принятию решений может быть сформулирована следующим образом:

(*)

- это совокупность всех характеристик (условий), при которых приходится принимать решение.

Если в формуле (*) N состоит только из одного элемента, а все условия и предпосылки исходной реальной задачи можно описать в виде множества допустимых решений, то получаем структуру оптимизационной или экстремальной задачи:

.

Данная схема используется лицом, принимающим решение, как планирующая и с помощью нее можно описать две экстремальные задачи:

или .

Если в данной задаче учитывается фактор времени, то называется задачей оптимального управления.

Если , то (*) можно считать общей схемой задачи принятия решений в условиях конфликта.

Если у лица, принимающего решение, существует несколько целей, то уравнение (*) будет иметь вид . В данном случае функции определены на одном и том же множестве Х. Такие задачи называют задачами многокритериальной оптимизации.

Существуют задачи по принятию решений, которые получили название исходя из своего назначения: системы массового обслуживания, задачи сетевого и календарного планирования, теория надежности и т. д.

Если элементы модели (*) не зависят от времени, т. е. процесс принятия решения является мгновенным, то задача называется статической, в противном случае – динамической.

Если элементы (*) не содержат случайных величин, то задача является детерминированные, в противном случае – стохастические.

Примеры задач:

1. Задача оптимального раскроя

Фирма изготавливает изделия из нескольких деталей (p). Причем в одно изделие эти детали входят в количествах . С этой целью производится раскрой m партий. В i -ой партии имеется b_i единиц материала. Каждую единицу материала можно раскроить n способами. При этом получается a_ijn количество деталей. Требуется составить план раскроя, чтобы получить максимальное число изделий.

2. Транспортная задача

Имеется n поставщиков и m потребителей одного и того же продукта. Известен выпуск продукции у каждого поставщика и потребности в ней каждого потребителя, а также затраты на перевозки продукции от поставщика к потребителю. Требуется построить план перевозок с минимальными транспортными расходами с учетом пожеланий поставщиков и спроса потребителей.

3. Задача о назначении на работу

Имеется n работ и n исполнителей. Стоимость выполнения работы i исполнителем j равна c_ij. Нужно распределить исполнителей на работы, чтобы минимизировать оплату труда.

4. Задача о распределении вложений

Имеется n проектов. Причем для j -ого проекта известен ожидаемый эффект от реализации d и необходимая величина капиталовложений g_j. Общий объем капиталовложений нее может превышать заданной величины b. Требуется определить, какие проекты необходимо реализовать, чтобы суммарный эффект был наибольшим.

5. Задача о размещении производства

Планируется выпуск m видов продукции, которые могут производиться на n предприятиях. Издержки производства, сбыта единицы продукции, плановый объем годового производства и плановая стоимость единицы продукции каждого вида известны. Требуется из n предприятий выбрать такие m, каждое из которых будет производить один вид продукции.

В задачах принятия решений под принципом оптимальности понимается совокупность правил, при помощи которых лицо, принимающее решение, определяет свои действия, причем таким образом, чтобы максимально обеспечить достижение определенной цели. Такое решение называется оптимальным.

Конечная цель исследования любой задачи – это нахождение оптимального решения для всех лиц, их принимающих.

Принцип оптимальности выбирается без учета конкретных условий принятия решений (количество участников, целей, возможностей, характер столкновения интересов).

Формализация оптимального поведения – это один из сложных этапов математического моделирования.

Разработка любого принципа оптимальности оправдана, если отвечает следующим требованиям:

1. Адекватное отражение понятия оптимальности на интуитивном уровне.

2. Существование оптимального решения при различных дополнительных предположениях.

3. Возможность выявления отличительных признаков оптимальных решений для их обнаружения (необходимость и достаточность оптимальности).

4. Наличие методов вычисления оптимального решения (точного или приблизительного).

В теории принятия решений разработано большое количество формальных принципов оптимального поведения:

1. Принцип максимизации (минимизации) применяется в основном в задачах математического программирования, рассчитанных на нахождение оптимальных минимума или максимума.

2. Принцип свертки критериев применяется в основном в задачах при оптимизации многих критериев одним координирующим центром (задача многокритериальной оптимизации).

Для каждого из критериев или целевых функций экспертным путем назначаются веса или числа , причем каждое из них положительное и их сумма равна 1. Каждое показывает важность или значимость своего критерия . Принимаемое решение должно максимизировать или минимизировать свертку критериев, причем решение х выбирается из множества Х.

3. Принцип лексикографического предпочтения. Сначала критерий оптимальности ранжируется по важности и составляется в виде набора целевых функций . Некоторое решение х предпочтительнее решения , если выполняется одно из условий:

;

;

;

…

;

Содержится n+1 уравнений. n+1 – когда все совпадают: .

4. Принцип минимакса применяется при столкновении интересов противоборствующих сторон, т. е. в условиях конфликта. Каждое лицо, принимающее решение, для каждой своей стратегии рассчитывает гарантированный результат. Затем окончательно выбирает ту стратегию, для которой этот результат будет наибольшим. Такое действие не дает максимального выигрыша, однако является единственно разумным принципом в условиях конфликта. В частности исключается всякий риск.

5. Принцип равновесия по Нэшу является обобщением принципа минимакса, когда во взаимодействии участвует много сторон, каждая из которых преследует свою цель, но прямого противостояния нет. Если количество лиц, принимающих решение, равно n, то набор выбранных ситуаций х₁, х₂,…,х_n называется равновесным, если одностороннее отклонение любого лица от этой ситуации, то может привести лишь к уменьшению его выигрыша. В ситуации равновесия участники не получают максимального выигрыша, но они даются придерживаться данной ситуации.

6. Принцип оптимальности по Парето предполагает в качестве оптимальных те ситуации, в которых улучшение выигрыша отдельного участника невозможно без ухудшения выигрышей других участников. Данный принцип предъявляет более слабые требования к понятию оптимальности, чем принцип равновесия по Нэшу, поэтому парето-оптимальные ситуации существуют почти всегда.

7. Принцип недоминирующих исходов является представителем многих принципов оптимальности в задачах коллективного принятия решений. Это приводит к понятию ядра решений. В данном случае все участники объединяются и совместными согласованными действиями максимизируют общий выигрыш. Принцип недоминируемости – один из принципов справедливого дележа между участниками общего выигрыша. Возникает ситуация, когда один из участников не может аргументировано возразить против предлагаемого способа дележа.

8. Принцип устойчивости (угрозы и контругрозы). Каждая команда участников выдвигает свое предложение с определенными условиями. Если это условия не будут выполнены, то последуют определенные санкции. Оптимальным является решение, когда против всякой угрозы находится контругроза со стороны другой команды.

9. Арбитражные схемы, основанные на положении конфликта и на решении его с помощью арбитражного судьи. Оптимальное решение строится при помощи системы аксиом, включающих в себя несколько принципов оптимальности.

10. Принцип крайнего пессимизма или критерий Вальда. По этому принципу игра с природой или принятие решения в условиях неопределенности ведется как с разумным агрессивным противником, делающим все для того, чтобы помещать достигнуть определенного успеха.

11. Принцип минимаксимального риска является пессимистическим по своей природе, но при выборе оптимальной стратегии ориентируется не на выигрыш, а на риск, т. е. риск определяется как разность между максимальным выигрышем и реальным выигрышем. Оптимальной считается величина минимального выигрыша.

12. Принцип пессимизма-оптимизма или критерий Гурвица. Принцип использует максимальное взвешенное среднее между крайним оптимизмом и крайним пессимизмом. Варианты выбираются из субъективных соображений, исходя из опасности ситуации.

Концепция динамической устойчивости заключается в следующем. Так как все изложенные принципы сформулированы относительно статистических задач, поэтому применение их в динамических задачах сопровождается осложнениями, т. к. любой принцип оптимальности, выбранный в начальном состоянии, оставался оптимальным до конца динамического процесса. Такое свойство называется динамической устойчивостью и может рассматриваться как принцип реализуемости статистических принципов оптимального поведения в динамических моделях принятия решений.