Методы расчета параметров сетевой модели

К лекции №7

К лекции №6

К лекции №5

К лекции №4

К лекции №3

К лекции №2

К лекции №1

1. Иоханес Иттен. Основы цвета

2. Кравцова Т.А., Зайцева т.А., Милова Н.П. «Основы цветоведения»

3. https://mikhalkevich.narod.ru/kyrs/Cvetovedenie/main1.html

4. Кашекова И.Э. От Античности до модерна – М.: «Просвещение», 2003

5. Платонова Н. Искусство – М.: «Росмэн», 2002

6. журнал Detail Журнал по архитектуре 2007 No. 10 · Прозрачность

7. журнал Detail Журнал по архитектуре 2009 No. 7/8 · Строить из стекла

8. Вытулева К. О. "Пространственные эксперименты в новейшей архитектуре"
Автореферат диссертации на соискание ученой степени
кандидата искусствоведения (МГУ кафедра всеобщей истории искусства
исторического факультета)

9. https://www.behnisch.com/

10. https://www.mvrdv.nl/

11. https://www.alikov.ru/ (Статья "Экологические аспекты применения стекла
в архитектуре")

12. https://www.russianelectronics.ru (Статья "Системы естественного
освещения: основные критерии, примеры внедрения и расчета")

13. https://www.russianelectronics.ru/developer-r/rss-r/review/47098/47103/doc47117.phtml

14. https://arttobuild.ru/ (Статья "Подвешенность и прозрачность...")

15. https://arttobuild.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=27&Itemid=61

16. Михайлов Б. П., Витрувий и Эллада, М., 1967.

17. www.koncepcija.lv

18. https://kpgs.ru/data/2009/170909/original/scan0029.jpg

19. https://berion.info/arhitektdizajn/4.html

20. https://berion.info/arhitektdizajn/65.html

21. https://www.forma.spb.ru/magazine/articles/t_007/main.shtml

22. https://www.skyscrapercity.com/showthread.php?t=339347

23. https://berion.info/arhitektdizajn/5.html

24. https://berion.info/arhitektdizajn/66.html

25. www.arkhi.net

26. www.wikipedia.ru

27. www.artprojekt.ru

28. www.abc-people.com/typework/art

29. www.gumer.info

Над конспектом лекций и приложением к нему работали:

Студенты группы 3-ПЗ-II

Антонова Дарья

Бакрышева Валерия

Баракова Ника

Илясов Андрей

Кужеева Александра

Кузьмина Анастасия

Осипов Павел

Соколова Надежда

Соколова Юля

Соснин Александр

Фатеева Наталия

Чернова Надежда

Шавидзе Юлия

Шевека Максим

Для расчета параметров сетевых моделей применяют следую­щие три метода:

– метод вычислений непосредственно на сетевом графике;

– матричный метод,

– табличный метод.

Все эти методы основываются на формулах (1.6), … (1.10) и от­личаются только процедурами вычислений.

Метод вычислений на сетевом графике. Предварительно каж­дый кружок, изображающий вершину графика (событие), делится на четыре сектора: в верхний сектор записывается номер собы­тия k, в левый – значение Т_k^(p), в правый – T_k⁽ⁿ⁾, а в нижний – R_k = T_k⁽ⁿ⁾ – Т_k^(p) (рис. 4).

Согласно формуле (1.6) ранний срок наступления данного со­бытия определяется как сумма раннего срока непосредственно предшествующего события и длины дуги (продолжительности ра­боты), которая их соединяет. Если к событию подходят две или большее число дуг, то вычисляют указанные суммы для каждой из входящих дуг; максимальная из сумм и есть ранний срок на­ступления данного события, который записывается в левый сектор. Расчет ведется последовательно от исходящего события к завер­шающему.

Обратимся к рис. 4, на котором изображена та же сетевая мо­дель, что и на рис. 3. В левый сектор исходящего события сразу записывается значение T ₀ ^(p) = 0. Далее находим: к событию 1 под­ходит одна дуга (0, 1), поэтому T ₁ ^(p) = 0+20 = 20; к событию 2 под­ходят две дуги (0, 2) и (1, 2), поэтому T ₂ ^(p) = max{0+45; 20+0}=45, и так далее Каждое вычисленное значение T_k^(p) сразу записывает­ся в соответствующий сектор.

Поздний срок наступления данного события согласно формуле (2.10) определяется как разность между поздним сроком непосред­ственно следующего события и длиной дуги, которая их соединяет. Если из события выходят две или большее число дуг, вычисляют указанные разности для каждой из выходящих дуг; минимальная из разностей и есть поздний срок наступления данного события, который записывается в правый сектор.

Поздний срок наступления завершающего события согласно формуле (1.9) равен раннему сроку, эту величину записывают в правый сектор и далее ведут расчет последовательно от завершаю­щего события к исходящему.

Для нашего сетевого графика имеем T ₁₀ ⁽ⁿ⁾ = T ₁₀ ^(p) =305. Далее находим: из событий 9, 8, 7 выходит по одной дуге, поэтому T ₉ ⁽ⁿ⁾ = 305–100 =205; T ₈ ⁽ⁿ⁾ =205–90=115; T ₇ ⁽ⁿ⁾ =115–5=110;

из со­бытия 6 выходят две дуги (6, 7) и (6, 8), поэтому T ₆ ⁽ⁿ⁾ = min{110–0; 115–10} =105 и так далее.

После того, как рассчитаны все значения T_k⁽ⁿ⁾ вычисляют ре­зервы времени событий как разности между величинами, записан­ными в левых и правых секторах, и записывают их в нижние сек­торы. Остальные параметры сетевой модели вычисляют, по форму­лам (1.11)–(1.17). Результаты всех расчетов удобно представить в виде табл. 2.

Таблица 2.

Началь­ное со­бытие i	Конеч­ное со­бытие j	Tij			Rij
					0

Критический путь проходит через события, для которых R_j =0 (0–3–6–8–9–10).

При расчете параметров сетевой модели непосредственнонаграфике можно не нумеровать события так, чтобы выполнялось условие i < j для любой дуги (i, j).

Матричный метод. Метод сводится к простым формальным опе­рациям над величинами t_ij без необходимости обращаться к гра­фику. Процедуру расчета рассмотрим на примере сетевой модели, изображенной на рис. 3.

Представим сетевой график в виде матрицы смежности, но вместо единиц запишем соответствующие значения t_ij. В результате получим табл. 3 (в таблицу также записаны величины T_i^(p) и T_j⁽ⁿ⁾, которые еще нужно вычислить).

Таблица 3

j i

Ранний срок

Поздний срок

Таблица может быть составлена как по сетевому графику, так и по упорядоченному перечню событий и работ.

Правило определения раннего срока событий вытекает из вы­ражения (1.6) и формулируется следующим образом: ранний срок события с номером j,равен сумме элемента матрицы t_ij с ранним сроком предшествующего события, причем, если предшест­вующих событий несколько, то берется максимальная из сумм, ре­зультат записывается в строку с номером i=j.

Так как ранний срок нулевого события равен нули, то сразу записывают в нулевую строку значение T ₀ ^(p) = 0. Дальше последо­вательно просматриваются столбцы (последующие события), начи­ная с первого (j =1). Из матрицы видим, что событие 1 связано только с одним предшествующим событием, а именно – с нулевым, причем t _0,1=20. Складываем t _0,1 со значением Т ₀ ^(p) = 0, записан­ным в столбце Т_i^(p) по нулевой строке, а результат t _0,1+ T ₀ ^(p) = 20 записываем в первую строку в столбец Т_i^(p). Это и будет значе­ние T ₁ ^(p).

Переходим ко второму столбцу (j =2). Событие 2 связано с двумя предшествующими событиями: 0 и 1, причем t _0,2=45; t _1,2=0. Составляем две суммы t _0,2+ Т ₀ ^(p) = 45+0=45; t _1,2 +T ₁ ^(p) = 0+20 = 20 и большую записываем во вторую строку в стол­бец Т_i^(p).

Рассмотрим еще восьмой столбец (j =8). Событие 8 связано с тремя предшествующими событиями 5, 6 и 7. Составляем суммы 10+85=95; 10+105=115; 5+105=110 и в восьмую строку в стол­бец Т_i^(p) записываем наибольшую, равную 115.

Правило вычисления позднего срока события следует из выра­жения (2.10) и формулируется следующим образом: поздний срок события с номером i, определяется путем вычитания элемента матрицы t_ij из позднего срока последующего события, причем, если последующих событий несколько, то берется мини­мальная из разностей; результат записывается в столбец с номе­ром j = i.

Вычисления начинают с завершающего события и сразу запи­сывают в столбец для j=N величину T_N⁽ⁿ⁾= Т_N^(p). В нашем случае в столбец для j =10 записывают Т ₁₀ ⁽ⁿ⁾ =305. Теперь просматриваем последовательно строки, начиная с N– 1 (в нашем случае девя­той). Из таблицы видно, что событие 9 связано с одним последую­щим событием 10, причем t _9,10=100. Вычитаем согласно правилу из T ₁₀ ⁽ⁿ⁾ =305 величину t _9,10=100 и разность, равную 205, записы­ваем в девятый столбец в строку Т_j⁽ⁿ⁾. Это и будет величина T _{9 (n)} =205.

Переходим к следующей, восьмой строке (i =8). Событие 8, как видно из матрицы, связано с одним последующим событием 9, причем t _8,9=90. Составим разность 205–90=115 и результат за­пишем в восьмой столбец в строку T_j⁽ⁿ⁾.

Рассмотрим пятую строку. Событие 5 связано с двумя после­дующими событиями 7 и 8, а соответствующие элементы матрицы t _5,7=0 и t _5,8=10. Составляем две разности 110–0=110; 115–10=105 и меньшую из них за­пишем в пятый столбец в строку T_j⁽ⁿ⁾. Это и будет T ₅ ⁽ⁿ⁾ =105

Остальные параметры вычисляют по формулам (1.11) – (1.17), записывают их в табл. 2 и определяют критический путь.

Табличный метод в принципе не отличается от изложенных ме­тодов и преимуществ перед ними не имеет.

Теперь обратимся к сетевым моделям, у которых продолжи­тельности работ являются случайными величинами. В этом случае продолжительность критического пути также является случайной величиной; сохраним за ней обозначение Т_кр. Исходная инфор­мация таких моделей содержит сеть, законы распределения веро­ятностей величин t_ij (или вероятностные оценки a_ij, b_ij, m_ij) и (но не обязательно) директивный срок наступления завершающего события Т_дир.

Основными задачами анализа этих моделей являются:

– определение среднего значения и дисперсии критического времени T_кр;

– определение закона распределения величины T_кр;

– определение таких сроков наступления событий, которые с заданной вероятностью не будут превышены;

– определение законов распределения для моментов наступле­ния событий;

– определение вероятности прохождения критического пути через данную работу или совокупность работ.

Существующие аналитические методы решения перечисленных задач весьма громоздки и не нашли практического применения. Более широкое применение получил метод статистических испы­таний.

Далее излагается практически удобный для расчетов метод ве­роятностной оценки наступления завершающего события. Необхо­димо подчеркнуть, что вероятностный анализ для завершающего события особенно важен, поскольку для продолжительности вы­полнения комплекса, как правило, устанавливается директивный срок и характер распределения случайного реального завершения комплекса работ по отношению к директивному сроку может суще­ственно влиять на принятые решения при управлении выполнением комплекса.

Рассмотрим следующие задачи вероятностного анализа сверше­ния завершающего события:

– определить вероятность того, что продолжительность крити­ческого пути (выполнения комплекса работ) T_кр лежит в задан­ных пределах

– определить вероятность того, что продолжительность крити­ческого пути не превысит заданный директивный срок;

– определить такой директивный срок, который с заданной ве­роятностью не будет превышен.

В методе приняты некоторые допущения, из которых выделим два основных:

1. Дисперсия D_кр величины критического времени зависит толь­ко от дисперсий работ, лежащих на критическом пути.

2. Величина T_кр распределена по нормальному закону. Это допущение основывается на предположении, что число работ крити­ческого пути достаточно велико и что продолжительности этих работ являются независимыми случайными величинами. Согласно центральной предельной теореме сумма достаточно большого числа независимых случайных величин, сравнимых по дисперсии, при­ближенно распределена по нормальному закону.

Расчет для всех задач начинается с вычисления математических ожиданий продолжительностей t_ij для всех работ комплекса по формуле (1.1) или (1.3). Затем, оперируя величинами как детерминированными:

– вычисляют продолжительность критического пути , представляющую собой математическое ожидание случайной величины T_кр;

– определяют критический путь L_кр;

– вычисляют дисперсии D_ij продолжительностей работ, лежащих на критическом пути, по формуле (1.2) или (1.4);

– на основании известной теоремы, что дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий слагаемых, находят дисперсию продолжительности критического пути

. (1.18)

Теперь при сделанных допущениях можно решить первую из перечисленных выше задач, а именно – определить вероятностьтого, что продолжительность критического пути лежит в заданных пределах : |

, (1.19)где – функция Лапласа;

t – аргумент функции Лапласа;

– математическое ожидание случайной величины Т_кр;

.

Перейдем ко второй задаче. Согласно принятому допущению случайная величина Т_кр распределена по нормальному закону, по­этому на основании правила трех сигм можно написать

. (1.20)

Очевидно, что директивный срок должен лежать в тех же пре­делах:

. (1.21)

Действительно, если то вероятность выпол­нения комплекса работ равна нулю; если же взять то без оснований будет растянут срок выполнения комп­лекса.

Кроме того, должно выполняться условие

Т_кр < Т_дир. (1.22)

Из неравенств (1.20), (1.21), (1.22) следует, что

(1.23)

Теперь можно найти решение второй задачи – определить ве­роятность того, что продолжительность критического пути не пре­высит заданный директивный срок. Искомую вероятность получим из выражения

(1.24)так как Ф(3) =0,9973.

Третью задачу можно решить следующим образом. С учетом заданной вероятности Р₃ перепишем выражение (1.24) в виде

. (1.25)

По известным величинам Р ₃, и s_кр можно определить с помощью таблиц функции Лапласа величину Т_дир, удовлетворяю­щую уравнению (1.25).

Недостаток метода состоит в том, что анализ проводится лишь для одного критического пути. Но при случайных длительностях t_ij совокупность работ, составляющих критический путь, также является случайной и может не совпадать с совокупностью работ анализируемого критического пути. Возможность таких несовпаде­ний возрастает, если имеются полные пути, продолжительность ко­торых незначительно отличается от продолжительности критиче­ского пути. Поэтому для принятия эффективных решений необхо­димо иметь надежные вероятностные оценки длительности работ комплекса.