Необходимое условие существования экстремума

Теорема 5. Если дифференцируемая функция y = f (x)имеет в точке x₀ экстремум, то производная в этой точке равна нулю.

y = f (x) имеет в т. x₀ экстремум Þ f¢ (x) =0. 

Пример 2. Рассмотрим функцию ( рис. 4 ). В точке х = 0 функция имеет минимум, но в точке х = 0 не существует производная функции (доказано ранее).  В связи с этим сформулируем дополнительный признак:

«Если непрерывная функция y = f (x) имеет в точке x₀ экстремум, то производная в этой точке равна нулю или не существует (точка x₀ принадлежит области определения функции)».

def. Точки, в которых производная обращается в нуль или не существует называется критическими точками или точками подозрительными на экстремум; в частности, точки в которых производная обращается в нуль называются стационарными.

Замечание 2. Сформулированная теорема есть лишь необходимое условие, но не достаточное условие существования экстремума. 

Пример 3.