Переменные и постоянные величины

Объектом исследования в курсе математического анализа являются различные величины, исследуются возможности описания с помощью этих величин реально происходящих явлений или процессов.

Величины могут быть переменными и постоянными, то есть меняющимися, или не меняющимися в процессе исследования. Эти заключения являются условными, покажем это на примере. Координаты нашего города, конечно, являются постоянными величинами, по их значениям легко находится местоположение города на карте. Однако, это утверждение является истинным только для находящихся на Земле. Если наблюдать за местоположением нашего города с космической станции, его координаты будут меняться с вращением Земли. Изучая земные дела, мы уверенно можем считать эти величины постоянными.

Переменные величины могут быть независимыми и зависимыми, меняющимися в зависимости от каких-то других величин. Эти понятия также условны. К примеру, время меняется независимо от чего либо, и его следует считать переменной величиной. Однако, с позиций общей теории относительности Эйнштейна это совсем не так.

Если рассмотреть уравнение окружности , в нем участвует две переменные величины и . Одной из них можно придавать в некоторой области любые значения, другая находится из приведенного уравнения. Следовательно, одну из них можно считать независимой, другую - зависимой переменной. При этом независимой переменной может считаться любая из них, тогда вторая будет зависимой.

Для работы с величинами необходимо задать множество, то есть совокупность значений, которые могут принимать эти величины в процессе их использования. В школе вас знакомили с несколькими множествами. Рассмотрим только некоторые из них.

Пусть множество является множеством натуральных чисел, это множество содержит бесконечное количество элементов, обозначение показывает, что элемент принадлежит множеству натуральных чисел.

Обозначим - множество действительных (вещественных) чисел, тогда множество является подмножеством множества , то есть полностью расположено на множестве и является его частью. Обозначение .

Множество всех действительных чисел обычно располагается на некоторой оси, называемой вещественной (числовой) осью. Каждому числу множества соответствует точка на оси.

Для краткой записи используются следующие обозначения:

– «для любого», «для всякого»,

– «существует», «найдется»,

– «следует»,

– «равносильно»,

– «ставится в соответствие»,

: – «имеет место».

Например, выражение

читается «для всякого x из A имеет место ».

Функция. Способы ее задания

Вернемся к независимым и зависимым переменным. Независимую переменную часто называют аргументом, зависимую – функцией.

Определение 1. Если каждому элементу некоторого множества ставится в соответствие один и только один элемент множества , говорят, что на множестве задана функция , здесь определяет закон, с помощью которого осуществляется это соответствие.

Примеры , .

Функция может быть задана в виде

· Таблицы,

· Графика,

· Формулы (аналитически).

В качестве примера приведена функция, аналитическое задание которой , табличное и графическое ее задание приведено ниже.

x		1.5		2.5
y		2.25		6.25

Аналитически функцию можно задать

· в явном виде (явное задание функции), когда из формулы следует, что переменная зависит , то есть является функцией аргумента ;

· неявно , когда любая из переменных может считаться независимой, тогда другая переменная является функцией. Пример неявного задания функции . Нетрудно заметить, что эта формула задает фактически две непрерывные функции и . Первая функция представляет верхнюю полуокружность, вторая – нижнюю ее часть.

· параметрически (параметрическое задание функции) , когда вводится дополнительный параметр . Исторически параметр t был связан со временем. Тогда параметрическое задание функции дает возможность не только установить, на какой линии находится точка, но и в каком месте этой линии она находится в заданный момент времени.

Пример. . Нетрудно установить, что это параметрическое уравнение эллипса . При имеем правую крайнюю точку эллипса A , при находимся в точке B , то есть в верхней точке эллипса и т.д. Таким образом, параметрическое задание дает большую информацию о функции, чем другие аналитические ее представления.

Определение 2. Множество называется областью существования функции, или областью ее задания. Область существования функции может быть шире, чем область ее задания. То есть функция может существовать на всей числовой оси, а используется она при .

Определение 3. Множество называется областью значений функции.

Определение 4. Любое подмножество числовой оси называется промежутком. Открытый промежуток, не включающий граничных точек, называется интервалом и обозначается или . Замкнутый промежуток, содержащий все внутренние и граничные точки, называется отрезком и обозначается или . Имеют место также полуинтервалы и . В первом случае в полуинтервал входит только левая граничная точка, во втором – только правая.

У функции область существования вся числовая ось то есть , область значений . У функции область существования или , область значений также . У функции область существования , область значений .