I. Графический способ отделения корней

Отделение корней

Постановка задачи

Решение уравнений с одной переменной

Рассмотрим уравнение вида F(x)=0, где F(x) – определенная и непрерывная на отрезке [ a,b ] функция.

Корнем уравнения F(x)=0 называется такое значение x^*, которое обращает уравнение в верное равенство.

x^* - корень уравнения F(x)=0 • x^* - нуль функции y=F(x).

Решить уравнение – значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти их значения с заданной степенью точности.

Нахождение корней уравнения состоит из двух этапов:

I. Отделение корней – выделение промежутков, содержащих ровно 1 корень.

II. Уточнение корней – нахождение корней с заданной степенью точности.

Отделение корней может осуществляться графически или программным путем.

а) Теорема.

Если на отрезке [ a,b ] функция y=F(x) определена и непрерывна, и на его концах принимает значения разных знаков (т.е. F(a)F(b) <0), то уравнение F(x)=0 имеет на этом отрезке, по крайней мере, один корень.

Если функция y=F(x) на отрезке [ a,b ] строго монотонна, то корень единственный.

Требуется указать отрезок, содержащий нуль функции.

Например, пусть требуется отделить корни уравнения x²-x-1=0. Построим график функции y=x²-x-1 и укажем отрезки, содержащие точки пересечения графика функции с осью абсцисс.

Искомые промежутки: [-1; 0] [1; 2].

б) Иногда проще рассмотреть вместо уравнения y=F(x) равносильное ему уравнение f₁(x)=f₂(x). В этом случае требуется указать отрезок, содержащий абсциссу точки пересечения графиков функций y=f₁(x) и y=f₂(x).

Например, пусть требуется отделить корни уравнения x²-x-1=0. Рассмотрим равносильное ему уравнение x²=x+1. Тогда вместо отрезков, содержащих точки пересечения графика функции y=x²-x-1 с осью абсцисс, можно указать отрезки, содержащие точки пересечения графиков функций f₁(x)=x² и f₂(x)=x+1.

Искомые промежутки: [-2; 0] [1; 3].