Однорідне диференціальне рівняння

План

Лекція № 15

Тема: Основні типи диференціальних рівнянь першого порядку

1. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними (попередня лекція)
2. Лінійні рівняння першого порядку
3. Однорідні рівняння першого порядку

Література:

основна:

1. Грисенко М.В.. Математика для економістів: Методи й моделі, приклади й задачі: Навч. посібник. – К.: Либідь, 2007. – 720с.

2. Клепко Ю.В., Голець В.Л. Вища математика в прикладах і задачах: Навчальний посібник. – К.: Центр навчальної літератури, 2006.

3. Дубовик В.П., Юрик І.І.. Вища математика: Навч. посібник. – К.: А.С.К., 2001.- 648с.: іл..

додаткова:

1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П.. Краткий курс высшей математики. М., Физматгиз, 1962г., 528 стр. с илл.

2. Гаврильченко Х.І., Полушкін С.П., Кропив’янський П.С. та ін.. Вища математика: Зб. Задач: У 2 ч. Ч.1: Лінійна і векторна алгебра. Аналітична геометрія. Вступ до математичного аналізу. Диференціальне та інтегральне числення: Навч. посібник для вищ. техн. навч. закл./ За заг.ред. д-ра техн. наук, проф.. Овчинникова. – 2-ге вид., стереотип. – К.: Техніка, 2004. – 279с.: іл..

Зміст лекції

Означення. Диференціальне рівняння називається однорідним, якщо його можна подати у вигляді

(11)

Воно за допомогою заміни змінної зводиться до ДР з відокремлюваними змінними а знаходження розв’язку зводиться до квадратур

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок ДР .

l Узявши , дістанемо ДР і його загальний розв’язок

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок ДР .

l Візьмемо і одержимо ДР для змінної

.

Інтегруючи ДР з відокремленими змінними, знаходимо загальний розв’язок:

Однорідне ДР не змінюється при перетворенні подібності:

(12)

ДР перетворюється на ДР .

При перетворенні подібності (12) інтегральні криві рівняння (11) знову переходять в інтегральні криві рівняння (11). Усі інтегральні криві однорідного ДР подібні з центром подібності в початку координат. Якщо будь-яка інтегральна крива, що лежить в деякому секторі, входить у початок координат, то всі інтегральні криві в цьому секторі теж входять у початок координат. Якщо одна із інтегральних кривих замкнена, то всі інтегральні криві замкнені.

Приклад. Побудуємо інтегральні криві однорідного ДР

l Скориставшись заміною дістанемо ДР:

Рис. 2

Остаточно знаходимо інтеграл ДР:

Інтегральні криві є колами, що прохо­дять через початок координат (рис. 2). Усі інтегральні криві замкнені і входять у початок координат.