Обязательные задачи к билету

                Линейная алгебра. Вопросы для  билетов к экзамену.

 

1.Матрицы. Определение. Виды матриц. Действия над матрицами. Свойства действий.

2. Определитель матрицы. Определение. Свойства. Способы вычисления.

3.Теоремы о разложении определителя по элементам ряда.

4.Обратная матрица. Методы вычисления обратной матрицы: с помощью эквивалентных преобразований и с помощью присоединенной матрицы.

5. Эквивалентные преобразования матриц. Ранг матрицы. Определение. Способы вычисления. Теорема о базисном миноре.

6.Теорема Крамера. Формулы Крамера для решения СЛАУ.

7.Матричный способ решения СЛАУ. Связь с формулами Крамера.

8.Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.

9.Альтернатива Фредгольма для СЛАУ.

10.Фундаментальная система решений (ФСР) для однородной СЛАУ. Общее решение неоднородной СЛАУ.

11.Свободные векторы. Сложение, умножение на число. Длина (модуль) вектора, направляющие косинусы, единичные векторы данного направления. Свойства основных действий над векторами. Проекции, координаты, компоненты вектора.

12.Скалярное произведение векторов. Определение, свойства, вычисление непосредственно по определению и в прямоугольной декартовой системе координат. Проекции одного вектора на другой. Угол между векторами. Ортогональные векторы.

13.Векторное произведение двух векторов. Определение, свойства. Вычисление векторного произведения непосредственно по определению и в декартовой прямоугольной системе координат. Коллинеарность векторов.

14.Смешанное произведение трех векторов. Определение, свойства. Вычисление непосредственно по определению и в прямоугольной декартовой системе координат. Компланарность трех векторов. Принадлежность 4-х точек одной плоскости.

15.Уравнение прямой на плоскости и в пространстве. Взаимное расположение прямых.

16.Частные виды уравнений прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

17.Уравнения плоскости в пространстве. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

18.Прямая в пространстве. Различные виды уравнений.Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.Расстояние между параллелными и скрещивающимися прямыми. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

19.Окружность. Эллипс. Вывод уравнения.Свойства.Параметры эллипса. Эксцентриситет. Директрисы.

20.Гипербола. Вывод уравнения. Свойства. Параметры гиперболы. Эксцентриситет, асимптоты, директрисы гиперболы.Виды гипербол.

21.Парабола. Вывод уравнения. Свойства. Параметр параболы.Зксцентриситет, директриса.Виды парабол. Связь уравнений эллипса, гиперболы, параболы с величиной эксцентриситета.

22.Общее уравнение кривой второго порядка. Приведение к канонической форме. 9 видов канонических уравнений кривых второго порядка.

23.Алгебраические структуры. Группа, кольцо, поле.

24.Линейное векторное пространство. 8 аксиом линейного пространства.

25.Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Определение Основные леммы о линейной зависимости.

26.Базис и размерность линейного пространства. Разложение вектора по базису. Переход к другому базису.

27.Подпространства линейного пространства.Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма подпространств.Размерности суммы и пересечения подпространств.

28.Линейная оболочка. Линейное многообразие.

29.Линейные операторы и их матричная запись.Пространство линейных операторов. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису.

30.Оператор поворота пространства V2 на некоторый угол против часовой стрелки.

31.Ядро и образ линейного оператора.Теорема о ядре и образе.

32.Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Определение, свойства, вычисление. Характеристическое уравнение. Характеристический многочлен.

33.Свойства собственных векторов и собственных значений.

34.Вещественное евклидово пространство.Определение.Основные неравенства.

35.Ортогональность, ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

36.Определитель Грама, критерий Сильвестра.

37.Отображения. Линейные формы. Определение. Сопряженное пространство.

38.Сопряженный базис. Построение с помощью теории линейных форм.

39.Квадратичные формы. Основные определения. Матричная запись квадратичной формы с симметричным оператором.

40. Инварианты квадратичной формы.

41.Приведение квадратичной  формы к каноническому виду методом унитарных преобразований.

42.Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

43.Геометрическая точка зрения на систему линейных уравнений.

44.Общая теория линий и поверхностей второго порядка.

45. 17 канонических уравнений поверхностей второго порядка. Построение не мнимых и невырожденных поверхностей: эллипсоидов, гиперболоидов, параболоидов, конических и цилиндрических поверхностей.

46.Особенности спектра симметричного оператора.

 

                  Обязательные задачи к билету

 

1.Найти общее решение неоднородной СЛАУ на основе ФСР однородной.

2.Кривая второго порядка + прямая на плоскости.

3.Прямая и плоскость в пространстве.

4.Вычислить корень из комплексного числа.

5.Определить базис и размерность суммы и пересечения подпространств, являющихся линейными оболочками векторов (натянутых на эти векторы).

6.Найти коэффициенты линейной формы относительно заданного базиса.

7.Ортогонализовать систему векторов.

8. Найти базис пространства, сопряженный данному.

9.Привести общее уравнение кривой второго порядка к каноническому виду:

а) с помощью преобразования координат (перенос начала и поворот);

б)с помощью теории квадратичных форм.

Определить параметры кривой и сделать рисунок

10.Привести квадратичную форму (трех переменных) к каноническому виду ортогональным преобразованием и методом Лагранжа. Указать линейное преобразование, приводящее её к каноническому виду. Определить, какая поверхность описана полученным каноническим уравнением.Построить её.