double arrow

Занятие 20 лекция. Задание. Теоретические основы. https://infourok. ru/stepennaya-funkciya-eyo-svoystva-i-grafik-3373126. html10 класс

Занятие 20 лекция

Тема Степенная функция, ее свойства и график

Дидактическая цель: развитие логического мышления обучающихся через формирование навыков исследования функций.

Литература: Алимов Ш.А. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение, 2016 §6, стр. 39

Видеоуроки https://www.youtube.com/watch?v=zVmNlWQAjwE

 

 

Рассматриваемые вопросы:

-Графики степенной функции

- Свойства степенной функции.

Задание

1 В тетради записать дату и тему занятия.

2 Ознакомиться с материалом лекции, посмотреть видеоурок

3 Выполнить в тетради задание № 127 (1, 3) стр. 47, учебник Алимова.

 

Теоретические основы

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

https://infourok.ru/stepennaya-funkciya-eyo-svoystva-i-grafik-3373126.html10 класс

Степенной называется функция, заданная формулой    где , p – некоторое действительное число.

I. Показатель   - чётное натуральное число. Тогда степенная функция     где n – натуральное число, обладает следующими свойствами:  

1) Область определения функции - множество всех действительных чисел:   D(y)= (− ; + ).

2) Область значений функции – множество неотрицательных чисел, если :

                                                  множество неположительных чисел, если :

3) ). Значит, функция   является чётной, её график симметричен относительно оси Oy.

4) Если , то функция убывает при х  (- ; 0] и возрастает при х  [0; + ).

Если , то функция возрастает при х  (- ; 0] и убывает при х  [0; + ).

Графиком степенной функции  с чётным натуральным показателем является парабола п -ой степени, симметричная относительно оси ординат, с вершиной в начале координат (в точке ), ветви которой направлены вверх, если ,  и вниз, если . График этой функции получается из графика функции   растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.

На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с чётным натуральным показателем, а на правом рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

     
 

                                 

II. Показатель   - нечётное натуральное число. Тогда степенная функция     где n – натуральное число, обладает следующими свойствами:  

1) Область определения функции - множество всех действительных чисел: D(y)= (− ; + ).

2) Область значений функции – множество всех действительных чисел:   Е(y) = (− ; + ).

3)   Значит, функция  является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.

4) Если , функция возрастает при х  (- ; + ).

Если , функция убывает при х  (- ; + ).

Графиком степенной функции  с нечётным натуральным показателем  является парабола п- ой степенис вершиной в начале координат (точке (0;0)), симметричная относительно начала координат, ветви которой расположены в I и III четвертях, если ; и во II и IV четвертях, если . График этой функции получается из графика функции   растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.

 

На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с нечётным натуральным показателем, а на правом – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

 

   

                                                                                                                                  

       III. Показатель   - чётное целое отрицательное число. Тогда степенная функция   где n – натуральное число, обладает следующими свойствами:  

                                                                                                                                  

1) Область определения функции: .

2) Область значений функции - множество всех положительных чисел, если : Е(y) = (0; + );

                                                  множество всех отрицательных чисел, если :  Е(y) = (- ; 0).

3)   Значит, функция  является чётной, её график симметричен относительно оси Оу.

4) Если , функция возрастает при х  (- ; 0), убывает при х  (0; + ).

Если  функция убывает при х  (- ; 0), возрастает при   х  (0; + ).

Графиком степенной функции   является гипербола п -ой степени, симметричная относительно оси   Оу, не пересекающая оси координат и её ветви расположены в I и II четвертях, если , и в III и IV четвертях, если . График этой функции получается из графика функции    растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.


На первом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с чётным целым отрицательным показателем, а на втором рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

       IV. Показатель   - нечётное целое отрицательное число. Тогда степенная функция   где n – натуральное число, обладает следующими свойствами:  

1) Область определения функции:

2) Область значений функции:

3)   Значит, функция  является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.

4) Если , функция убывает при х .

Если , функция возрастает при х .

Графиком степенной функции   является гипербола п -ой степени, симметричная относительно начала координат, не пересекающая оси координат и его ветви расположены в I и III четвертях, если , и во II и IV четвертях, если . График этой функции получается из графика функции    растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.

     
 

На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с нечётным целым отрицательным показателем, а на правом рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.      

       V. Показатель   – положительная правильная дробь . Тогда степенная функция   где m – целое положительное число, n > 1 – натуральное число, обладает следующими свойствами:  

1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:

2) Область значений функции - множество неотрицательных чисел, если :

                                                 множество неположительных чисел, если : .

3) Функция   неявляется ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.

4) Если , функция возрастает при х ;

Если , функция убывает при х .

График степенной функции   расположен в I четверти, если , и в IV четверти, если . График этой функции получается из графика функции    растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.


На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде положительной правильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

 

       VI. Показатель   – положительная неправильная дробь . Тогда степенная функция   где m – целое положительное число, n > 1 – натуральное число, обладает следующими свойствами:  

1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:

2) Область значений функции - множество неотрицательных чисел, если :

                                                  множество неположительных чисел, если : .

3) Функция   неявляется ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.

4) Если , функция возрастает при х ;

Если , функция убывает при х .

График степенной функции   расположен в I четверти, если , и в IV четверти, если . График этой функции получается из графика функции    растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.

На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде положительной неправильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

 

VII. Показатель   – отрицательная правильная дробь . Тогда степенная функция   где m – целое отрицательное число, n > 1 – натуральное число, обладает следующими свойствами:  

                                                                                                                                  

1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:

2) Область значений функции - множество неотрицательных чисел, если :

                                                 множество неположительных чисел, если : .

3) Функция   неявляется ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.

4) Если , функция убывает при х ;

Если  функция возрастает при х .

График степенной функции   расположен в I четверти, если , и в IV четверти, если . График этой функции получается из графика функции    растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.

На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде отрицательной правильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.


       VIII. Показатель   – отрицательная неправильная дробь . Тогда степенная функция   где m – целое отрицательное число, n > 1 – натуральное число, обладает следующими свойствами:  

1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:

2) Область значений функции - множество неотрицательных чисел, если :

                                                 множество неположительных чисел, если : .

3) Функция   неявляется ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.

4) Если  функция убывает при х ;

Если  функция возрастает при х .

График степенной функции   расположен в I четверти, если , и в IV четверти, если . График этой функции получается из графика функции    растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.

На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде отрицательной неправильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

Обратная связь: выполненные задания, вопросы отправляем в комментариях или личные сообщения преподавателю или на электронную почту колледжа dktidistanc@mail.ru



Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: