Занятие 20 лекция
Тема Степенная функция, ее свойства и график
Дидактическая цель: развитие логического мышления обучающихся через формирование навыков исследования функций.
Литература: Алимов Ш.А. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение, 2016 §6, стр. 39
Видеоуроки https://www.youtube.com/watch?v=zVmNlWQAjwE
Рассматриваемые вопросы:
-Графики степенной функции
- Свойства степенной функции.
Задание
1 В тетради записать дату и тему занятия.
2 Ознакомиться с материалом лекции, посмотреть видеоурок
3 Выполнить в тетради задание № 127 (1, 3) стр. 47, учебник Алимова.
Теоретические основы
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
https://infourok.ru/stepennaya-funkciya-eyo-svoystva-i-grafik-3373126.html10 класс
Степенной называется функция, заданная формулой где , p – некоторое действительное число.
I. Показатель - чётное натуральное число. Тогда степенная функция где n – натуральное число, обладает следующими свойствами:
1) Область определения функции - множество всех действительных чисел: D(y)= (− ; + ).
|
|
2) Область значений функции – множество неотрицательных чисел, если :
множество неположительных чисел, если :
3) ). Значит, функция является чётной, её график симметричен относительно оси Oy.
4) Если , то функция убывает при х (- ; 0] и возрастает при х [0; + ).
Если , то функция возрастает при х (- ; 0] и убывает при х [0; + ).
Графиком степенной функции с чётным натуральным показателем является парабола п -ой степени, симметричная относительно оси ординат, с вершиной в начале координат (в точке ), ветви которой направлены вверх, если , и вниз, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.
На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с чётным натуральным показателем, а на правом рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
II. Показатель - нечётное натуральное число. Тогда степенная функция где n – натуральное число, обладает следующими свойствами:
1) Область определения функции - множество всех действительных чисел: D(y)= (− ; + ).
2) Область значений функции – множество всех действительных чисел: Е(y) = (− ; + ).
3) Значит, функция является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.
4) Если , функция возрастает при х (- ; + ).
Если , функция убывает при х (- ; + ).
Графиком степенной функции с нечётным натуральным показателем является парабола п- ой степенис вершиной в начале координат (точке (0;0)), симметричная относительно начала координат, ветви которой расположены в I и III четвертях, если ; и во II и IV четвертях, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.
|
|
На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с нечётным натуральным показателем, а на правом – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
III. Показатель - чётное целое отрицательное число. Тогда степенная функция где n – натуральное число, обладает следующими свойствами:
1) Область определения функции: .
2) Область значений функции - множество всех положительных чисел, если : Е(y) = (0; + );
множество всех отрицательных чисел, если : Е(y) = (- ; 0).
3) Значит, функция является чётной, её график симметричен относительно оси Оу.
4) Если , функция возрастает при х (- ; 0), убывает при х (0; + ).
Если функция убывает при х (- ; 0), возрастает при х (0; + ).
Графиком степенной функции является гипербола п -ой степени, симметричная относительно оси Оу, не пересекающая оси координат и её ветви расположены в I и II четвертях, если , и в III и IV четвертях, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.
На первом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с чётным целым отрицательным показателем, а на втором рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
IV. Показатель - нечётное целое отрицательное число. Тогда степенная функция где n – натуральное число, обладает следующими свойствами:
1) Область определения функции:
2) Область значений функции:
3) Значит, функция является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.
4) Если , функция убывает при х .
Если , функция возрастает при х .
Графиком степенной функции является гипербола п -ой степени, симметричная относительно начала координат, не пересекающая оси координат и его ветви расположены в I и III четвертях, если , и во II и IV четвертях, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.
На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с нечётным целым отрицательным показателем, а на правом рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
V. Показатель – положительная правильная дробь . Тогда степенная функция где m – целое положительное число, n > 1 – натуральное число, обладает следующими свойствами:
1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:
2) Область значений функции - множество неотрицательных чисел, если :
множество неположительных чисел, если : .
3) Функция неявляется ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.
4) Если , функция возрастает при х ;
Если , функция убывает при х .
График степенной функции расположен в I четверти, если , и в IV четверти, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.
|
|
На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде положительной правильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
VI. Показатель – положительная неправильная дробь . Тогда степенная функция где m – целое положительное число, n > 1 – натуральное число, обладает следующими свойствами:
1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:
2) Область значений функции - множество неотрицательных чисел, если :
множество неположительных чисел, если : .
3) Функция неявляется ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.
4) Если , функция возрастает при х ;
Если , функция убывает при х .
График степенной функции расположен в I четверти, если , и в IV четверти, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.
На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде положительной неправильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
VII. Показатель – отрицательная правильная дробь . Тогда степенная функция где m – целое отрицательное число, n > 1 – натуральное число, обладает следующими свойствами:
1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:
2) Область значений функции - множество неотрицательных чисел, если :
множество неположительных чисел, если : .
3) Функция неявляется ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.
|
|
4) Если , функция убывает при х ;
Если функция возрастает при х .
График степенной функции расположен в I четверти, если , и в IV четверти, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.
На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде отрицательной правильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
VIII. Показатель – отрицательная неправильная дробь . Тогда степенная функция где m – целое отрицательное число, n > 1 – натуральное число, обладает следующими свойствами:
1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:
2) Область значений функции - множество неотрицательных чисел, если :
множество неположительных чисел, если : .
3) Функция неявляется ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.
4) Если функция убывает при х ;
Если функция возрастает при х .
График степенной функции расположен в I четверти, если , и в IV четверти, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.
На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде отрицательной неправильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
Обратная связь: выполненные задания, вопросы отправляем в комментариях или личные сообщения преподавателю или на электронную почту колледжа dktidistanc@mail.ru