2021-08-14
30Оно применяется при вычислении пределов вида 
, когда возникают неопределенности вида 
.
если предел справа существует.
Замечание. Правило Лопиталя не всегда можно применять для таких выражений.
Пример.
но
Вычислить следующие пределы с помощью правила Лопиталя, удостоверившись, что выражение под знаком предела дает одну из неопределённостейвида .
№ 1. 
№ 2. 
№ 3. 
Иногда это правило приходится применять несколько раз.
№ 4. 
Приводим «многоэтажную» дробь к обычной, двухэтажной:
В знаменателе 
стремится к 1, поэтому выражение можно «заменить» 1, а к оставшемуся выражению применить формулу сокращенного умножения:
№ 5. 
№ 6. 
Воспользуемся результатом, полученным в № 2:
Следующие примеры для самостоятельного решения (не на оценку).
№ 7.
Ответ: 1.
№ 8.
Ответ: 1/2.
№ 9.
Указание: 
.
Ответ: 1/3.
II. Физический смысл производной.
Пусть материальная точка движется по траектории 
. Тогда мгновенная скорость этой точки в момент времени 
равна 
, а мгновенное ускорение этой точки в момент времени равно 
.
№ 10. Материальная точка движется по траектории 
. Найти значение мгновенной скорости и ускорения точки в момент времени 
Имеем:
В точке 
. В каждый момент времени ускорение одно и то же – точка движется равноускоренно.
№ 11. Материальная точка движется по траектории 
. Найти значение мгновенной скорости и ускорения точки в начальный момент времени 
В какой момент времени точка остановится?
Имеем:
1. В точке 
:точка движется равнозамедленно.
2. Точка остановится, значит, её скорость будет равна 0:
т.е. в момент времени
III.Геометрический смысл производной.
Угловой коэффициент 
касательной, проведенной в точке 
к графику функции 
,равен значению производной функции в этой точке:
№ 12. Найти значение углового коэффициента касательной, проведенной в точке 
к графику функции 
Имеем: 
IV. Экономический смысл производной.
Функция издержек производства отражает зависимость между объёмом произведенной продукции и минимально необходимыми затратами на данное производство.
где 
– валовые издержки,
–постоянные издержки (не зависящие от объёма производства): зарплата повременным работникам, банковский % за кредит, плата за коммунальные услуги, амортизационные отчисления и т.д.,
– переменные издержки (растут по мере увеличения объёма производства): сырьё, материалы, топливо, зарплата сдельщиков и т.д.
Предельные (маржинальные) издержки – это прирост издержек на выпуск дополнительной единицы продукции, т.е. производная общих издержек:
№ 13. Функция издержек производства определяется формулой 
Выписать переменные издержки, постоянные издержки, найти предельные издержки.
Постоянные издержки 
, переменные издержки равны 
. Предельные издержки равны
