2021-08-27
91Задачи по теме «Векторы в пространстве»
1.Даны координаты точек А(-3; 2; -1), В(2; -1;-3), С(1; -4; 3), Д(-1; 2; -2).
Найдите | 2АВ+3СД |
Решение:
(2+3; -1-2;-3+1)=(5;-3;-2)
(-1-1;2+4;-2-3)=(-2;6;-5).
2 
+3 
=(10+(-6);-6+18;-4-15)=(4;12;-19).
+3 
= 
= 
Ответ:
2. Даны координаты точек С(3; -2; 1), Д(-1; 2; 1), М(2; -3;3), N(-1; 1; -2). Найдите косинус угла между векторами 
и 
.
Решение:
cosα= 
CД(-4;4;0) 
= 
=4 
MN=(-3;4;-5) 
= 
=5 
Cosα= 
= 
=0,7
Ответ:0,7
3. Вычислите угол между векторами 
(2; -2; 0) и 
(3; 0; -3).
Решение:
Cos 
= 
ab=2*3+(-2)*0+(-3)*0=6
= 
=2 
= 
=3 
cos 
= 
= 
=600
Ответ:600
4. При каком значении n данные векторы перпендикулярны: 
(2; -1;3) и 
(1;3; n)?
Решение:
ab=2*1-3*(-1)+3n
3n-1=0
3n=1
n= 
Ответ:
5.Вычислите координаты вектора 2 
+3 
+ 
по координатам векторов: 
(3;1; 1), 
(-2;0;2)
Решение:
2 
+ 
=(2*3;2*1;2*1)+(3*(-2);3*0;3*2)+(1;-1;0)=(6-6+1;2+0-1;2+6)=(1;1;8)
Ответ:(1;1;8)
6.Вычислите значение k, при котором скалярное произведение векторов 
(2;k;-1) и
(3; -1; 2k) равно(-5)
Решение:
ab=2*3-k-2k
6-k-2k=0
-3k=-11
k= 
Ответ:
7.Даны векторы: 
(-3;-1;2), 
(5;-2;7). Найдите координаты вектора: - 
+3 
.
Решение:
- 
=(3;1;-2)+(3*5+3*(-2)+3*7)=(18;-5;-19)
Ответ:(18;-5;-19)
8.Вычислите длину вектора 2 
+ 3 
, если 
(3; 1;0), 
(0;1;-1).
Решение:
=4a 
+12ab+9b 
9+1=10
=1+1=2
=4*10+12+9*2=40+30=70
= 
Ответ:
9.Даны две точки А(2;-1;3), В(1;0;4) и вектор 
(4;-2;-3).
Найдите длину вектора 3 
+ 5 
Решение:
(1-2;0+1;4-3)=(-1;1;1) 3 
(-3;3;3)
5 
(20;-10;-15)
3 
=(17;-7;-12)
= 
Ответ: 
10.Даны векторы 
(-1;1;1;) 
(0;2;-2). Найдите координаты вектора с 
=(2 
+3 
)-(
-2) 
+2( - ).
Решение:
=3 
=(-3;3;3)+(0;6;-6)=(-3+0;3+6;3-6)=(-3;9;-3)
(-3;9;-3)
Ответ: (-3;9;-3)
11.Найдите скалярное произведение векторов и , если | |=1, | |=2, |a+b|=3.
Решение:
9+ 
=2+8
a-2ab+b 
=10-9
-2ab+1+4=1
-2ab=-4
ab=2
Ответ:2
12.Даны три точки А(1;0;1), В(-1;1;2) и С(0;2;-1). Найдите точку Д(х;у;z), если векторы АВ и СД равны.
Решение:
х-0=-2 у-2=1 z+1=1
х=-2, у=3, z=0
Д(-2;3;0)
Ответ:Д(-2;3;0)
