2021-08-27
2146№1 (на нахождение среднего уровня ряда): Вычислите среднегодовой выпуск учащихся совокупностью вузов города в период 1918 - 2000 гг., если известно, что за 1918 – 1928 гг. выпускалось в среднем за год 1,0 тыс. чел.; в 1929 – 1939 гг. выпуск составил 4,5 тыс. чел. в год; в 1940–1941 гг. — 1,4 тыс. чел.; в 1942–1950 гг. — 3,7 тыс. чел.; в 1951–1960 гг. — 14,3 тыс. чел; в 1961–1975 гг. — 78,2 тыс. чел.; в 1976–1980 гг. — 94,7 тыс. чел.; в 1981–2000 гг. — 122,0 тыс. чел.
Решение: Данный ряд динамики относится к виду - интервальный с неравно отстоящими интервалами.
В этом случае для решения используется формула:
где 
— средний уровень ряда;
— исходные уровни ряда;
t — число периодов времени, в течение которых уровень не изменяется.
Подставим в формулу наши исходные данные и вычислим средний уровень ряда:
Следовательно, средний годовой выпуск высших учебных заведений города в период с 1918 по 2000 гг. составляет 47,6 тысячи человек.
№2 (на нахождение средних показателей динамики): По нижеследующим данным рассчитайте среднемесячные показатели динамики производства одноразовой бумажной посуды ЧП «Караван»..
| Месяц | Объем выпуска изделий (в стоимостном выражении, тыс. руб.) | |
| Январь | 100,2 | |
| Февраль | 102,5 | |
| Март | 180,5 | |
| Апрель | 300,5 | |
| Май | 315,2 | |
| Июнь | 395,5 | |
| Июль | 370,5 | |
| Август | 389,5 | |
| Сентябрь | 300,1 | |
| Октябрь | 294,5 | |
| Ноябрь | 206,5 | |
| Декабрь | 180,5 | |
Решение: К среднемесячным показателям динамики относятся:
1. средний абсолютный прирост: 
,
где: Y0 - начальный уровень ряда; Yn- последний уровень ряда; n - число членов (уровней) ряда.
2. средний темп роста: 
;
3. средний темп прироста: 
.
Рассчитаем их на основе вышеприведенных данных:
105,5
105,5-100=5.5
Рассчитаем: 
.
На основе всех проведенных вычислений приходим к следующему: объем выпуска в течение всего года увеличивался в среднем на 7,3 тыс. руб. или, в относительном выражении, на 5,5%; в среднем в течение года месячный объем выпуска составил 261,3 тыс. руб.
№3 (на нахождение базисных, цепных, средних показателей динамики): По данным о динамике численности лиц, совершивших преступления с применением огнестрельного и газового оружия, боеприпасов и взрывчатых веществ, требуется рассчитать основные показатели анализа рядов динамики: абсолютные приросты, коэффициенты роста, темпы роста, темпы прироста, абсолютное содержание 1% прироста (цепные, базисные, среднегодовые).
| Годы | 2012 | 2012 | 2014 | 2015 | 2016 |
| Численность лиц, совершивших преступления, человек | 4 040 | 4274 | 4 518 | 4 823 | 4 863 |
При расчёте базисных показателей руководствуемся следующим: за базисный уровень принимаем первый из заданных уровней ряда, то есть численность лиц, совершивших преступления в 2012 году. Для визуального удобства расчёты основных показателей динамики представлены в таблицах 5.1 - 5. 5.
Базисные абсолютные приросты по формуле:
=Yi—Y1
Цепные абсолютные приросты находим по формуле:
= Yi—Yi-1
Таблица 5.1. Расчёт цепных и базисных абсолютных приростов
| Годы | Цепные абсолютные приросты | Базисные абсолютные приросты |
| 4274-4040=234 | 4274-4040=234 | |
| 4518-4274=244 | 4518-4040=478 | |
| 4823-4518=305 | 4823-4040=783 | |
| 4863-4823=40 | 4863-4040=823 |
Между цепными и базисными абсолютными приростами существует взаимосвязь: сумма цепных абсолютных приростов равна базисному абсолютному приросту:
234+244+305+40=823;
Поэтому среднегодовой абсолютный прирост можно определить несколькими вариантами, исходя из:
- суммы цепных абсолютных приростов по формуле:
где k- число абсолютных приростов (k=n-1),
То есть, (234+244+305+40):(5-1)=206 (человек)
- первого базисного абсолютного прироста по формуле:
где п – число уровней ряда динамики,
Таким образом, 823:4=206 (человек)
Расчёт коэффициентов роста произведем по формулам:
Цепная форма
= Yi—Yi-1;
Базисная форма
=Yi:Y1
Таблица 5.2. Расчёт цепных и базисных коэффициентов роста:
| Годы | Цепные коэффициенты роста | Базисные коэффициенты роста |
| 4274:4040=1,058 | 4274:4040=1,058 | |
| 4518:4274=1,057 | 4518:4040=1,118 | |
| 4823:4518=1,067 | 4823:4040=1,194 | |
| 4863:4823=1,008 | 4863:4040=1,203 |
Между цепными и базисными коэффициентами роста имеется взаимосвязь: произведение цепных коэффициентов роста равно базисному за весь период. Соответственно, получаем:
1,058*1,057*1,067*1,008=1,203
Расчёт среднегодового коэффициента роста можем реализовать двумя способами, по следующим формулам:
- исходя из цепных коэффициентов роста:
Таким образом, 
- исходя из базисного коэффициента роста:
Значит, 
Для расчёта цепных и базисных темпов роста используем формулу:
Тр =Кр *100%
Таблица 5.3. Расчёт цепных и базисных темпов роста:
| Годы | Цепные темпы роста,% | Базисные темпы роста,% |
| 4274:4040*100=105,8 | 1,058*100=105,8 | |
| 1,057*100=105,7 | 1,118*100=111,8 | |
| 1,067*100=106,7 | 1,194*100=119,4 | |
| 1,008*100=100,8 | 1,203*100=120,3 |
Средний темп роста определяют исходя из среднего коэффициента роста:
,
Следовательно, 
При определении темпов прироста достаточно из соответствующего темпа роста вычесть 100%, это наиболее простой способ их расчета.
Таблица 5.4. Расчёт цепных и базисных темпов прироста:
| Годы | Цепные темпы прироста,% | Базисные темпы прироста,% |
| 105,8-100=5,8 | 105,8-100=105,8 | |
| 105,7-100=5,7 | 111,8-100=11,8 | |
| 106,7-100=6,7 | 119,4-100=19,4 | |
| 100,8-100=0,8 | 120,3-100=20,3 |
Средний темп прироста (в %) определяется по формуле:
%
То есть, 
Абсолютное значение 1% прироста может быть рассчитано двумя способами:
- как отношение абсолютного прироста (цепного) к темпу прироста (цепному) выраженному в процентах;
- как одна сотая часть предыдущего уровня
Таблица 5.5. Расчёт абсолютного значения 1% прироста
| Годы | Способ расчёта | |
| 1 способ | 2 способ | |
| 234:5,8=40,4 | 0,01*4040=40,4 | |
| 244:5,7=42,7 | 0,01*4274=42,7 | |
| 305:6,7=45,2 | 0,01*4518=45,2 | |
| 40:0,8=48,2 | 0,01*4823=48,2 | |
Расчёт среднего абсолютного значения 1% прироста производится по формуле:
(преступлений)
На основании всех рассчитанных выше основных показателей динамики делаем вывод, что в период 2012-2016 гг. наблюдается положительная динамика численности лиц, совершивших преступления с применением огнестрельного и газового оружия, боеприпасов и взрывчатых веществ, причем интенсивность прироста численности к концу периода снижается. В среднем за год численность лиц, совершивших преступления, увеличивалась на 206 человек или на 4,7%.
№4 (на нахождение среднего уровня ряда): На основании данных о числе осуждённых лиц и лиц, содержащихся в местах лишения свободы, определим среднегодовые уровни этих показателей:
| Годы | Число осужденных – всего | Содержалось в местах лишения свободы (на конец года) | |
| Всего | из них: в воспитательных колониях для несовершеннолетних | ||
| 2006 | 871,6 | 12,8 | |
| 2007 | 929 | 883,4 | 10,8 |
| 2008 | 925,2 | 887,8 | 8,6 |
| 2009 | 892,2 | 864,2 | … |
| 2010 | 845,1 | 819,3 | 4,1 |
| 2011 | 782,3 | 755,6 | 2,8 |
| 2012 | 739,3 | 701,9 | 2,3 |
| 2013 | 735,6 | 677,3 | 2,0 |
| 2014 | 719,3 | 665,6 | 1,8 |
| 2015 | 733,6 | 639,9 | 1,7 |
Прежде чем определять средние уровни представленных рядов динамики необходимо определить вид каждого из них. Так, число осуждённых это интервальный ряд динамики абсолютных величин с равноотстоящими уровнями во времени. Его уровни характеризуют суммарный итог осуждённых за определённый период времени (год). Уровни этого ряда можно суммировать, сумма имеет реальное, осмысленное значение. Средняя величина ряда динамики при этом определяется по формуле средней арифметической простой:
Ряды динамики лиц, содержащихся в местах лишения свободы, относятся к моментным рядам динамики. Сумма уровней этих рядов не имеет реального, осмысленного значения. При этом ряд динамики общего числа лиц, содержащихся в местах лишения свободы - полный (уровни приведены на каждый момент времени -конец года) поэтому средний уровень определяют по формуле хронологической средней:
т.е
Ряд динамики лиц, содержащихся в воспитательных колониях для несовершеннолетних с отсутствующим уровнем 2009 года - неполный моментный ряд динамики, поэтому средний уровень определяют по средней арифметической взвешенной:
где 
- средний уровень в интервале между датами
ti- величина интервала времени (число лет между моментами времени).
Таблица 5.6. Определение среднего числа лиц, содержащихся в воспитательных колониях для несовершеннолетних (тыс.человек) для неполного моментного ряда динамики
| Временной период | Число лет | Число человек |
| с конца2006 по конец 2007 | 11,8 | |
| с конца2007 по конец 2008 | 9,7 | |
| с конца2008 по конец 2010 | 6,35 | |
| с конца2010 по конец 2011 | 3,45 | |
| с конца2011 по конец 2012 | 2,55 | |
| с конца2012 по конец 2013 | 2,15 | |
| с конца2013 по конец 2014 | 1,9 | |
| с конца2014 по конец 2015 | 1,75 |
Тогда среднее число лиц, содержащихся в воспитательных колониях для несовершеннолетних за 2007-2015 гг. составит:
