Дробные факторные эксперименты

 

Рассмотрим ПФЭ 2²  с учетом взаимодействия факторов. Запишем матрицу планирования.

Пользуясь таким планированием, можно вычислить четыре коэффициента и представить результаты эксперт в виде неполного квадратного уравнения:

, где необходимо определить коэффициенты b₀, b₁,  b₂, b₁₂.

Если имеются основания считать, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейной моделью т.е. , то достаточно определить три коэффициента: b₀, b₁ и b₂. Остается одна степень свободы, которую можно использовать для минимизации числа опытов. Количество опытов в полном факторном эксперименте значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели. Полный факторный эксперимент обладает большой избыточностью опытов. Целесообразно сократить их число за счет информации, которая не существенна при построении линейных моделей.

При линейном приближении  вектор-столбец Х₁Х₂ можно использовать для оценки влияния нового фактора Х₃, и изучить ПФЭ 2³ по 4 опытам вместо 8. При этом матрица планирования не теряет своих оптимальных свойств (ортогональность, ротатабельность и т.п.). Таким образом, чтобы сократить число опытов, нужно новому фактору присвоить вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда значение нового фактора в условиях опытов определяется знаками этого столбца.

Положению о сокращении опытов удовлетворяют части ПФЭ 2^k. Такие эксперименты называются дробными факторными экспериментами или дробными репликами. Для обозначения дробных реплик, в которых р линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, удобно пользоваться условным обозначением ДФЭ 2^k-р _.  Количество опытных точек в ДФЭ 2^{k -р} меньше, чем в ПФЭ 2^k.

Поставив четыре опыта для оценки влияния трех факторов, можно воспользоваться половиной полного факторного эксперимента 2³, которую называют полурепликой.

При увеличении числа факторов (к>3), возможно применение реплик большей дробности. При р = 1 ДФП называют полурепликой (или 1/2 реплика), при р=2 - 1/4 репликой и т.д. Матрица из восьми опытов для четырехфакторного планирования будет полурепликой от полного факторного эксперимента 2⁴, а для пятифакторного планирования — четверть-репликой от 2⁵.

При решении многих технических задач эффекты взаимодействия незначительны по сравнению с линейными значениями, но не равны нулю. В зависимости от условий поставленной задачи выбирается такая дробная реплика, при которой можно извлечь максимальную информацию из эксперимента. Обычно дробные реплики задаются с помощью генерирующих соотношений, которые показывают, какое из взаимодействий принято считать незначительным и какое может быть заменено новым фактором.

Если взаимодействие факторов Х₁Х₂статически незначимо, то отсутствует необходимость в определении коэффициента b₁₂. План вида 2^3-1 может быть представлен одной из двух полуреплик: Х₃ =+/- Х₁Х_2. Объединение двух полуреплик дает полный факторный эксперимент. Матрицу планирования можно представить в виде двух полуреплик ДФЭ В одном случае Х₃ берётся со знаком "+", а во втором - со знаком "-".

Планы, представленные в табл. 3.2 и 3.3, обладают свойствами симметрии, нормировки и ортогональности. В зависимости от условий испытаний выбирают один из этих планов, т.к. каждый из них соответствует различным точкам факторного пространства, в которых должны быть проведены независимые опыты. На основании обоих планов можно построить математическую модель вида: +b3x3

Если рассмотреть полный ПФЭ 2³, то он содержит восемь строк или восемь наборов переменных, при которых определяется значение отклика. На основании этого плана могут быть построены следующие дробные реплики: ДФЭ 2⁴-¹ - полуреплика ПФЭ 2⁴, ДФЭ 2^5-2 – 1/4 реплика ПФЭ 2⁵; ДФЭ 2^6-3 - 1/8 реплика ПФЭ 2⁶; ДФЭ 2^7-4 - 1/16 реплика ПФЭ 2⁷.

На основе плана ПФЭ 2³ можно построить уравнение:

Это уравнение включает в себя три парных (первого порядка) и одно тройное (второго порядка) взаимодействия. Если какое-то взаимодействие является статистически незначимым, то можно построить полуреплику ДФЭ 2^4-1. Если незначимы два взаимодействия, можно построить 1/4 реплику ПФЭ 2⁵ или ДФЭ 2^5-2 и т.д.

Пример. Построить 1/4 реплику для случая, когда незначимыми являются коэффициенты b₁₃ и b₁₂₃. Два дополнительных фактора вводятся с помощью соотношений

х₄ = х₁х₃, х₅ = х₁х₂х₃

или х₄ = -х₁х₃, х₅ = х₁х₂х₃

или х₄ = х₁х₃, х₅ = - х₁х₂х₃

или х₄ = - х₁х₃, х₅ = - х₁х₂х₃

Данные соотношения называют генерирующими соотношениями, или генераторами.

Пример. Составить план ДФЭ 2^5-2, когда генераторами являются х₄ = – х,х₃, х₅ = х₁,х₂х₃. Такой план в пятифакторном пространстве выделяет восемь точек, в которых должен измеряться отклик.

 

Дробные факторные эксперименты позволяют экономить время. Однако при таком планировании возникает нежелательный эффект смешивания оценок. Анализ смешивания значительно упрощается, если использовать генерирующие соотношения и ввести понятие определяющего контраста.

Рассмотрим ДФЭ 2^3-1.

Если умножить генерирующие соотношения (х₃ = х₁х_2.) на новую независимую переменную х₃ то получим выражения: х₃² = х₁х₂х_3. В результате получают определяющий контраст.

Если умножить независимые переменные x₁, х₂ и х₃ на определяющий контраст, то получаются соотношения, показывающие каким образом в матрице планирования смешаны различные эффекты:

Умножим определяющий контраст на x1: х₁х₃² = х₁х₂х₃ х₁

т.к. х₃²=1, то х₁×1= х²₁х₂х₃ т.к. х₁²=1, то х₁= х₂х_3.

Аналогично получаем х₁= -х₂х_3.

При умножении определяющих контрастов на х₂ и х_з получаем соотношения вида:

х₂= х₁х_3, х₂= -х₁х₃, х₃= х₁х₂, х₃= - х₁х₂.

Пример. Составить полуреплику 2^4-1, которая задана генерирующим соотношением х₄ = х,х₂х₃. Определяющим контрастом полуреплики является соотношении (умножаем генератор на х4) 1 = х₁х₂х₃х_4.

Совместные оценки определяются соотношениями (умножает на определяющий контраст х₁, х₂ и т.д. β – это взаимодействия):

Коэффициент b₁ является оценкой влияния фактора х₁, и взаимодействия факторов х₂х₃х₄, на функцию отклика. Влияние фактора х₁ характеризуется величиной β₁, а влияние взаимодействия - величиной β ₁₂₃.

Полуреплика 2^4-1 может быть задана генерирующим соотношением х₄ = х₁х₂. Матрица планирования этой полуреплики:

Совместные оценки для полуреплики с определяющим контрастом 1 = х₁х₂х₄будут находиться из выражений:

В практических задачах взаимодействия тройного и более высокого порядков значительно чаще, чем двойные взаимодействия, равны нулю, поэтому ими обычно пренебрегают.

Выбор дробной реплики зависит от конкретной задачи. Для получения линейной модели рекомендуют выбрать дробные реплики с возможно большей разрешающей способностью. У этих реплик линейные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия, близкими нулю. При выборе дробной реплики необходимо учитывать насыщенность плана, т.е. соотношение между числом опытов и числом коэффициентов, определяемых по результатам этих экспериментов. Дробная реплика, полученная заменой всех эффектов взаимодействия новыми факторами, называется насыщенной. Применение насыщенных планов требует минимального числа экспериментов.

Дробные реплики широко применяются для получения линейных моделей. Эффективность применения дробных реплик определяется выбором системы смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия. При построении дробных реплик необходимо учитывать, что новый фактор, введённый в планирование, нужно поместить в столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь.

Обработка результатов ДФЭ аналогична обработке результатов ПФЭ.