2021-10-23
106
Задача №1
Партия из п1 изделий содержит k1 бракованных изделий. Какова вероятность того, что среди выбранных наудачу m1 изделий ровно l1 окажутся бракованными?
Решение
Решение аналогичной задачи приведено в лекции 1 (пример 4).
Применим классическую схему. Пусть А – событие, состоящее из выборок, содержащих l1 бракованных изделия и m1-l1 качественных. Число элементарных событий, благоприятствующих событию А равно 
, а 
. Таким образом,
.
Расчёт биномиальных коэффициентов производится по формуле (2). (При этом полагаем 0!=1.)
| |
Задача №2
В первой урне п2 белых и m2 чёрных шара, а во второй урне п3 белых и m3 чёрных шаров. Из первой урны случайным образом взяли m1 шаров, а из второй – l1 шаров. Найти вероятность, что среди извлечённых шаров;
а) все шары одного цвета;
б) хотя бы один белый шар.
Решение
Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями являются извлечение m1 шаров из первой урны и l1 шаров из второй. Элементарными событиями будут сочетания по m1 шаров из 
и по l1 шаров из п3+ m3. Вычислим количество всех выборок из первой и второй урн, которые обозначим n1 и n2 соответственно:
n1 
, n2 
.
а) Пусть событие А – все вынутые шары одного цвета. Рассмотрим события:
В1 – из первой урны извлекли m1 белых шаров;
В2 –из первой урны извлекли m1 чёрных шаров;
С1 – из второй урны извлекли l1 белых шаров;
С2 – из второй урны извлекли l1 чёрных шаров.
При этом событие А выражается через остальные следующим образом:
.
Учитывая независимость и несовместность событий, а также следствие из второго свойства вероятности, получим:
.
Вычислим количество элементарных событий, благоприятствующих наступлению каждого события, вошедшего в полученную формулу:
; 
; 
; 
.
Следовательно,
.
б) Пусть событие В – извлекли хотя бы один белый шар. Тогда событие 
– извлекли только чёрные шары. По первому свойству вероятности 
. Из пункта а) ясно, что 
. Поэтому
.
| |
Задача №3
Устройство состоит из трёх независимо функционирующих элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями р1, р2, р3. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя ровно два элемента.
Решение
Пусть событие А – за время Т вышло из строя ровно два элемента. Рассмотрим события Аi (i =1,2,3), состоящие в том, что за это время i –й элемент вышел из строя. Тогда противоположные им события 
заключаются в том, что i –й элемент не вышел из строя. Имеем:
.
Учитывая независимость элементов устройства и несовместность событий Аi и , а также свойства вероятности, получаем следующую формулу:
.
Нам даны вероятности безотказной работы элементов, то есть событий . Воспользуемся первым свойством вероятности: 
и тем, что 
Итак получим:
.
| |
Задача №4
В одной урне п2 белых и m2 чёрных шаров, а в другой – п3 белых и m3 чёрных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают два шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают три шара. Найти вероятность, что все шары, вынутые из второй урны, окажутся белые.
Решение
В этой задаче испытания происходят в два этапа: вначале случайным образом вынимают шары из первой урны и опускают во вторую, а затем случайно вынимают шары из второй урны.
Рассмотрим события:
А – из второй урны вынули три белых шара;
Н1 – из первой урны взяли два белых шара;
Н2 – из первой урны взяли 1 белый и 1 чёрный шар;
Н3 – из первой урны взяли два чёрных шара.
Совокупность событий 
является полной группой гипотез (определение 8). Используя формулу полной вероятности (5), получим:
.
Общее число выборок из первой урны равно 
, а из второй — 
.
Вычислим количество элементарных событий, благоприятствующих наступлению гипотез:
; 
; 
.
Если осуществилась гипотеза Н1, то во второй урне оказалось 
белых шара. Поэтому 
. Аналогично вычисляем:
, 
.
Таким образом, имеем:
.
| |
Задача №5
В пирамиде стоят п1 винтовок, из них m1 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью p1, а стреляя из винтовки без оптического прицела, – с вероятностью p2. Стрелок поразил мишень. Найти вероятность того, что при этом он стрелял из винтовки с оптическим прицелом.
Решение
В этой задаче первым испытанием является случайный выбор винтовки, вторым – стрельба по мишени. Рассмотрим следующие события:
А – стрелок поразил мишень;
Н1 – стрелок взял винтовку с оптическим прицелом;
Н2 – стрелок взял винтовку без оптического прицела.
Как следует из условия задачи, событие А уже осуществилось, то есть стрелок попал в мишень. Найти же нужно вероятность того, что при этом он стрелял из винтовки с оптическим прицелом, то есть условную вероятность 
. Используем формулу Байеса (6). Имеем:
.
Используя классическое определение вероятности и учитывая, что выбирается одна винтовка, найдём вероятности гипотез Н1 и Н2. Получим:
и 
.
Условные вероятности, входящие в формулу, заданы в условии задачи. Следовательно: 
.
| |
Задача №6
Игральная кость бросается m1 раз. Найти вероятность, что при этом шестёрка выпала ровно l1 раз.
Решение
Решение аналогичной задачи приведено в лекции 4 (пример 15).
При каждом бросании будем считать успехом выпадение шестёрки, а неудачей – выпадение любого другого числа. Тогда мы попадаем в рамки схемы Бернулли с 
. Используя формулу (12), получаем: 
.
| |
Задача №7
На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 
. Найти вероятность, что среди 
соединений произойдёт:
а) точно одно неправильное соединение;
б) больше чем два неправильных соединения.
Решение
Так как вероятность события мала, а количество испытаний велико, можно использовать формулу Пуассона (75).
Здесь 
.
а) Применяя формулу (75), получим: 
.
б) Решение аналогичной задачи приведено в лекции 10 (пример 42). Искомая вероятность равна:
.
Используя приближённую формулу (75), имеем:
, , 
.
Поэтому 
.
| |
Задача №8
Случайная величина Х задана законом распределения:
| Х | х1 | х2 | х3 |
| Р | р4 | р5 | р |
Найти р,функцию распределения 
с.в. Х, построить её график. Вычислить для с.в. Х математическое ожидание МХ и дисперсию DX.
Решение
Из определения закона распределения (определение 12) известно, что сумма чисел в нижнем ряду таблицы должна равняться единице. Исходя из этого, найдём неизвестный параметр р: 
.
Для того,чтобы найти функцию распределения, воспользуемся формулой (37) из определения функции распределения (определение 20). Получим:
График функции 
имеет вид:
Найдём математическое ожидание по формуле (13). Получим:
.
Для нахождения дисперсии воспользуемся формулой (21). Имеем:
.
| |
Задача №9
Случайная величина Х задана следующей плотностью распределения
Найтифункцию распределения с.в. Х, построить графики функций 
и . Вычислить для с.в. Х её математическое ожидание МХ и дисперсию DX.
Решение
Функцию распределения непрерывной случайной величины найдём по формуле (44), воспользовавшись также свойствами функции распределения. Отдельно вычислим функцию распределения на интервале 
. Получим:
.
Таким образом, на всей области определения имеем:
Построим графики заданной плотности распределения с.в. Х и найденной функции распределения. (Требуется выполнить точные построения согласно данным варианта!)
График плотности имеет вид:
График функции распределения :
Математическое ожидание вычислим по формуле (49):
.
Для нахождения дисперсии с.в. Х воспользуемся формулами (21) и (49). Получим:
.
Задача №10
Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти плотность распределения с.в. Х. Построить графики функций и . Вычислить для с.в. Х её математическое ожидание МХ и дисперсию DX.
Решение
Плотность распределения с.в. Х вычислим по формуле (42):
Продолжение решения задачи аналогично решению предыдущей задачи – проделайте это самостоятельно!
| |
Пояснение
Номер варианта совпадает с последней цифрой зачётной книжки. Данные параметров содержатся в следующей таблице:
Таблица данных для вариантов
| № | п1 | k1 | m1 | l1 | п2 | m2 | п3 | m3 | х1 | х2 | х3 | р1 | р2 | р3 | р4 | р5 |
| -1 | 0,85 | 0,63 | 0,9 | 0,4 | 0,3 | |||||||||||
| 0,86 | 0,64 | 0,91 | 0,3 | 0,6 | ||||||||||||
| 0,87 | 0,65 | 0,92 | 0,2 | 0,4 | ||||||||||||
| 0,88 | 0,66 | 0,93 | 0,4 | 0,1 | ||||||||||||
| -1 | 0,89 | 0,67 | 0,94 | 0,5 | 0,3 | |||||||||||
| 0,9 | 0,68 | 0,95 | 0,7 | 0,1 | ||||||||||||
| 0,91 | 0,69 | 0,96 | 0,6 | 0,2 | ||||||||||||
| 0,92 | 0,7 | 0,97 | 0,1 | 0,5 | ||||||||||||
| -1 | 0,93 | 0,71 | 0,98 | 0,8 | 0,1 | |||||||||||
| 0,94 | 0,72 | 0,99 | 0,3 | 0,4 |
