Вопросы по ТФКП

Вопросы по ТФКП

1. Множество комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа. Свойства операций над комплексными числами.
2. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Свойства операций над комплексными числами в тригонометрической форме.
3. Модуль и аргумент комплексного числа. Показательная форма комплексного числа. Свойства операций над комплексными числами в показательной форме. Свойства модуля и аргумента комплексного числа.
4. Комплексное сопряжение. Свойства комплексного сопряжения. Свойства модуля и аргумента комплексного числа.
5. Комплексная плоскость. Геометрическая интерпретация операций над комплексными числами.
6. Метрика и окрестность на комплексной плоскости. Предел комплексной последовательности. Бесконечно удаленная точка. Расширенная комплексная плоскость, сфера Римана. Открытое, связное, односвязное множество.
7. Функция комплексного переменного, ее вещественное представление. Предел и непрерывность ФКП. Критерий непрерывности.
8. Вещественная и комплексная дифференцируемость ФКП. Теорема Коши-Римана.
9. Свойства комплексно-дифференцируемых функций. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
10. Аналитичность ФКП. Гармонические функции двух действительных переменных и их связь с аналитическими функциями.
11. Основные элементарные функции и их свойства (линейная функция, обратная функция).
12. Основные элементарные функции и их свойства (дробно-линейная функция, функция Жуковского).
13. Основные элементарные функции и их свойства (степенная функция, радикал, экспонента, логарифм).
14. Основные элементарные функции и их свойства (тригонометрические и гиперболические функции и обратные к ним).
15. Интеграл комплексной функции действительной переменной. Интеграл комплексной функции комплексного переменного по ориентированной кривой и его независимость от параметризации кривой.
16. Интеграл комплексной функции комплексного переменного по ориентированной кривой и его основные свойства.
17. Первообразная ФКП. Формула Ньютона-Лейбница.
18. Основная теорема Коши для простого и составного контура.
19. Интегральная формула Коши и ее приложения.
20. Комплексные функциональные ряды, их поточечная и равномерная сходимость. Комплексный целый степенной ряд, теоремы Абеля и Коши-Адамара.
21. Предел, непрерывность и интегрируемость суммы комплексного функционального ряда. Аналитичность суммы степенного ряда.
22. Теорема о ряде Тейлора функции, аналитической в круге. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции.
23. Единственность разложения аналитической функции в ряд Тейлора. Неравенства Коши. Теорема Лиувилля. Интеграл типа Коши. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.
24. Ряд Лорана. Теорема Лорана. Единственность разложения. Неравенства Коши.
25. Нуль функции комплексного переменного. Кратность нуля. Теорема о строении аналитической функции в окрестности нуля.
26. Изолированные особые точки ФКП, их классификация. Кратность полюса. Ряд Лорана в окрестности ИОТ.
27. Устранимая ИОТ. Необходимое и достаточное условие устранимой ИОТ.
28. ИОТ типа полюс кратности k. Необходимое и достаточное условие полюса и полюса кратности k.
29. Существенно особая точка. Необходимое и достаточное условие существенно ИОТ.
30. Вычет функции в ИОТ и его связь с рядом Лорана в окрестности ИОТ. Вычет относительно устранимой ИОТ, простого полюса, полюса кратности k и существенно особой точки.
31. Основная теорема о вычетах и ее приложения к вычислению контурных и несобственных интегралов.
32. Бесконечно удаленная изолированная особая точка. Вычет в бесконечно удаленной точке. Полная теорема о вычетах.
33. Функция-оригинал. Преобразование Лапласа. Теоремы существования преобразования Лапласа и его обращения. Связь преобразования Лапласа с преобразованием Фурье.
34. Свойство линейности преобразования Лапласа и свойство подобия.
35. Свойства дифференцирования и интегрирования функции-оригинала.
36. Свойства дифференцирования и интегрирования функции-изображения.
37. Свойства запаздывания функции-оригинала и смещения функции-изображения.
38. Свертка оригиналов и ее свойства. Теорема умножения изображений. Формула Дюамеля.
39. Теорема умножения оригиналов. Вторая теорема разложения.
40. Применение преобразования Лапласа для решения линейных дифференциальных уравнений и систем.