Тема «Волновое уравнение»

Тема «Волновое уравнение»

Волновое уравнение – это дифференциальное уравнение второго порядка, решением которого является уравнение волны.

Волновое уравнение выглядит следующим образом:

Вместо ξ может использоваться также обозначение u.

Уравнение волны, которое является решением волнового уравнения, выглядит следующим образом:

ξ(r, t) = A cos (ωt – k r)

В этом уравнении

ξ – отклонение от положения равновесия той точки пространства, которая начинает колебаться, когда ее достигает волна;

r =   – радиус-вектор такой точки;

k =  – волновой вектор, который по модулю равен волновому числу, по направлению совпадает с нормалью к волновой поверхности:

 = ·

Радиус-вектор  зависит от трех координат точки:

 = x +y +z ,

причем  – волновой вектор и  – вектор базиса в уравнении радиус-вектора – это разные векторы, которые одинаково обозначаются).

Поскольку радиус-вектор зависит от x, y, z, уравнение волны можно записать следующим образом:

ξ(x, y, z, t) = A cos (ωt – kx – ky – kz).

 

Покажем, что уравнение волны является решением волнового уравнения. Для этого рассмотрим простейший случай – волну, которая распространяется только в одном направлении, например, вдоль оси х. Тогда уравнение волны примет вид:

 

ξ(x, t) = A cos (ωt – kx).

Найдем вторую производную по t, а потом по х, и сравним их.

Первая производная по t:

 = – Aω sin (ωt – kx).

 

Вторая производная по t:

 = – Aω² cos (ωt – kx).

 

Первая производная по x:

 = Ak sin (ωt – kx).

 

Вторая производная по x:

 = – Ak² cos (ωt – kx).

 

Из второй производной по t выразим cos (ωt – kx) и подставим во вторую производную по х:

 

cos (ωt – kx) = –  · ;

 

 = – Ak²· (–  · ) =  ·

 

Волновое число, деленное на циклическую частоту, дает скорость распространения волны:

 = v.

 

Тогда

 = ·

 

 Если мы вернемся к общему случаю и будем рассматривать все три координаты, то в левой части мы получим сумму вторых производных по каждой из трех координат, то есть

Эта сумма вторых производных имеет краткую форму записи, которая называется оператор Лапласа или лапласиан и обозначается Δ:

Δξ =  +  +

 

 С учетом этого волновое уравнение запишется еще проще:

Δξ = · .

 

Решением волнового уравнения является уравнение плоской волны:

ξ(x, y, z, t) = A cos (ωt – kx – ky – kz).

 

Литература по теме:

 

1. Савельев, И. В. Курс общей физики. Т. 1: Механика, колебания и волны, молекулярная физика / И. В. Савельев. – М.: Наука, 1970. – 517 с.