Справедливость допущения о стационарном протекании реакции

Если не вводить допущения о стационарности, то дифференциальное уравнение (6) нельзя решить, принимая d[ES] / dt = 0. Вместо этого необходимо провести интегрирование:

d[ES]

∫ ————————————————— = ∫ d t. (1.12)

k₁ ∙ [E]_О ∙ [S] − (k₁ ∙ [S] + k₋₁ + k₂) ∙ [ES]

Отсюда:

ln[k₁ ∙ [E]_О ∙ [S] − (k₁ ∙ [S] + k₋₁ + k₂) [ES] ]

—————————————————— = t + α. (1.13)

− (k₁ ∙ [S] + k₋₁ + k₂)

В момент начала реакции промежуточное соединение отсутствует, то есть [ES] = 0 при t = 0, и, следовательно,

ln(k₁ ∙ [E]_О ∙ [S])

α = ——————————, что дает следующее выражение:

− (k₁ ∙ [S] + k₋₁ + k₂)

k₁ ∙ [E]_О ∙ [S] − (k₁ ∙ [S] + k₋₁ + k₂)

ln ——————————————— = − (k₁ ∙ [S] + k₋₁ + k₂) ∙ t. (1.14)

k₁ ∙ [E]_О ∙ [S]

Преобразуя выражение (1.14), получим

(k₁ ∙ [S] + k₋₁ + k₂) ∙ [ES]

1 − ——————————— = exp [− (k₁ ∙ [S] + k₋₁ + k₂) ∙ t]. (1.15)

k₁ ∙ [E]_О ∙ [S]

Следовательно,

k₁ ∙ [E]_О ∙ [S] ∙ {1 − exp [− (k₁ ∙ [S] + k₋₁ + k₂) ∙ t]}

[ES] = ————————————————————— и

k₁ ∙ [S] + k₋₁ + k₂

υ_m ∙ [S] ∙ {1 − exp [− (k₁ ∙ [S] + k₋₁ + k₂) ∙ t]}

υ_О = —————————————————————, (1.16)

K_m + [S]

где величины υ_m и K_m определяются также, как и ранее, то есть υ_m = k₂ ∙ [E]_О и

k₋₁ + k₂

K_m = ———— соответственно.

k₁

При достаточно больших значениях времени (t), когда экспоненциальный член уравнения становится бесконечно малым, выражение (1.16) превращается в более простое уравнение стационарной скорости (1.9):

υ_m ∙ [S]

υ_О = ————.

K_m + [S]

Значения времени (t), при которых это происходит, зависят от величины (k₁ ∙ [S] + k₋₁ + k₂). Для большинства ферментативных реакций справедливо уравнение (1.9), и это можно рассматривать как доказательство того, что, как правило, величина (k₁ ∙ [S] + k₋₁ + k₂) намного больше, чем 1 с⁻¹.

Уравнение (1.16) было получено Лейдлером как частный случай. Лейдлер рассмотрел ситуацию, когда реакция протекает достаточно долго и вследствие этого концентрация субстрата понижается настолько, что допущение о постоянстве [S] и равенстве ее [S]_о (начальной величине [S]) перестает выполняться. Он нашел, что в данном случае система достигает стационарного состояния, в котором

k₁ ∙ [E]_О ∙ ([S]_О − [P])

[ES] = ——————————, (1.17)

k₁ ∙ ([S]_О − [P]) + k₋₁ + k₂

и, следовательно

k₁ ∙ [E]_О ∙ ([S]_О − [P]) υ_m ∙ ([S]_О − [P])

υ_О = ———————————— = ——————————. (1.18)

k₁ ∙ ([S]_О − [P]) + k₋₁ + k₂ K_m + [S]_О − [P]

Уравнения (1.17) и (1.18) идентичны уравнениям (1.7) и (1.9), за исключением того, что величина [S] в последних заменена на ([S]_О − [P]). Подводя итог вышесказанному, можно отметить, что кинетическая кривая ферментативной реакции обычно состоит из трех участков, разграниченных во времени (рис. 1.2.).

Переходный участок I кривой описывается уравнением (1.16); далее следует стационарный участок, горизонтальный отрезок II которого описывается уравнением стационарной скорости Михаэлиса-Ментен (1.9); затем идет участок основного протекания реакции III, который описывается уравнением (1.18).

Рис. 1.2.Временной ход реакции, подчиняющийся механизму Михаэлиса-Ментен.

До сих пор при выводе уравнений скорости предполагалось, что [S]_О >> [E]_О. Такая ситуация имеет место на практике при изучении кинетических кривых. Лейдлер в своих исследованиях рассмотрел вопрос о том, к чему приведет допущение о стационарном протекании реакции при менее жестких ограничениях. Он пришел к выводу, что при выполнении, по крайней мере, одного из следующих допущений:

1. [S]_О >> [E]_О;

2. [E]_О >> [S]_О;

3. (k₋₁ + k₂) >> k₁ ∙ [E]_О;

4. (k₋₁ + k₂) >> k₁∙ [S]_О

уравнение скорости принимает вид, несколько отличный от уравнения (1.18):

υ_m ∙ ([S]_О − [P])

υ_О = ——————————. (1.19)

K_m + [S]_О + [E]_О − [P]

Поскольку в экспериментальных условиях есть свобода большого выбора значений [E]_О и [S]_О, добиться выполнения хотя бы одного из четырех условий не составляет труда.