Композиция. Декомпозиция (проективность)

Декомпозиция (проективность)

Аддитивность (объединение)

Псевдотранзитивность

Транзитивность

Пополнение

Рефлексивность

Если имеется некоторая совокупность атрибутов X = YZ (т.е. Y есть некоторое подмножество из X), тогда X à Y.

Это тривиальная функциональная зависимость, в которой зависимость (правая часть) содержится в детерминанте (левой части).

Из этой зависимости следует (если Z = Æ), что X à X.

Или расширение левой части.

Если существует функциональная зависимость X à Y, то XZ à YZ.

Важно, что функциональная зависимость X à Y или принадлежит F, или может быть логически выведена из F с помощью описываемых правил.

Пример:

Пусть дана схема отношения R(A B C D), для которой определена функциональная зависимость A à B. Рассмотрим некоторую реализацию отношения:

Дано

Следует

R

(A

B

C

D)

A

à

B

A

C

à

B

C

a1

b1

c1

d1

a1

b1

a1

c1

b1

c1

a2

b2

c1

d1

a2

b2

a2

c1

b2

c1

a1

b1

c1

d2

a1

b1

a1

c1

b1

c1

a3

b2

c2

d3

a3

b2

a3

c2

b2

c2

a1

b1

c2

d2

a1

b1

a1

c2

b1

c2

Если X à Y и Y à W, то X à W.

Рассмотрим пример:

Дано:

Следует:

R

(A

B

C

D)

A

à

B

и

B

à

C

A

à

C

a1

b1

c2

d1

a1

b1

b1

c2

a1

c2

a2

b2

c1

d2

a2

b2

b2

c1

a2

c1

a3

b1

c2

d1

a3

b1

b1

c2

a3

c2

a3

b1

c2

d3

a3

b1

b1

c2

a3

c2

Если X à Y и YZ à W, то XZ à W

Пример:

Дано:

Следует:

R

(A

B

C

D)

A

à

B

и

B

C

à

D

A

C

à

D

a1

b1

c1

d1

a1

b1

b1

c1

d1

a1

c1

d1

a1

b1

c2

d2

a1

b1

b1

c2

d2

a1

c2

d2

a2

b2

c1

d1

a2

b2

b2

c1

d1

a2

c1

d1

a1

b1

c2

d2

a1

b1

b1

c2

d2

a1

c2

d2

Правило 3 является частным случаем правила 4, если принять Z = Æ.

Правила 1, 2 и 4 образуют функционально полный набор правил, с помощью которых можно вывести другие правила. Рассмотрим дополнительно еще некоторые правила.

Если X à Y и X à Z, то X à YZ

Пример:

Дано:

Следует:

R

(A

B

C

D)

A

à

B

и

A

à

C

A

à

B

C

a1

b1

c1

d1

a1

b1

a1

c1

a1

b1

c1

a2

b2

c1

d1

a2

b2

a2

c1

a2

b2

c1

a1

b1

c1

d2

a1

b1

a1

c1

a1

b1

c1

a3

b3

c2

d3

a3

b3

a3

c2

a3

b3

c2

Приведем доказательство.

Дано X à Y и X à Z. Требуется получить X à YZ.

В соответствии с правилом 1 YZ à YZ.

В соответствии с правилом 4, так как X à Y (по условию) и YZ à YZ (выведено), имеем X à YZ.

Если X à YZ, то X à Y и X à Z

Иллюстрирует данное правила пример, приведенный выше, в котором просто нужно поменять местами пометки «Дано:» и «Следует:».

Доказательство.

Дано: X à YZ. Требуется получить X à Y и X à Z.

В соответствии с правилом 1 YZ à Y и YZ à Z.

В соответствии с правилом 3 (частный случай правила 4), из X à YZ и YZ à Y следует X à Y; аналогично, из X à YZ и YZ à Z следует X à Z.

Если X à Y и Z à W, то XZ à YW

Пример:

Дано:

Следует:

R

(A

B

C

D)

A

à

B

и

C

à

D

A

C

à

B

D

a1

b1

c1

d1

a1

b1

c1

d1

a1

c1

b1

d1

a2

b2

c1

d1

a2

b2

c1

d1

a2

c1

b2

d1

a1

b1

c1

d1

a1

b1

c1

d1

a1

c1

b1

d1

a3

b3

c2

d3

a3

b3

c2

d3

a3

c2

b3

d3

Доказательство.

Дано: X à Y и Z à W. Требуется получить XZ à YW.

В соответствии с правилом 2 из X à Y следует XZ à YZ, а из Z à W следует YZ à YW.

В соответствии с правилом 3 из XZ à YZ и YZ à YW следует XZ à YW.