Влияние кривизны земли на определение горизонтальных и вертикальных расстояний

Рис. 6. Влияние кривизны Земли на оп­ределение горизонтальных и вертикаль­ных расстояний

Предположим, что на поверхности Земли измерена дуга АВ, равная l. Длину касательной АС обозначим через d(рис 6). Определим разность между длиной касательной и длиной кривой, которая и покажет влияние кривизны Земли на опре­деление горизонтальных расстояний,

Ad = d — l... (1)

Из рис. 6 видно,

что d = Rtga. (2)

Так как угол а величина малая, то можно пользоваться при­ближенной формулой

tga = a + а³/3+...,

где значение а выражено в радианах, тогда можно записать

d=R(l/R+l³/3R³)

или

d = l+l³/3R² (3)

Подставив значение d из формулы (3) в формулу (1), получим

∆d=l³/3R² (4)

Разность между длиной касательной и кривой, подсчитанная по формуле (4), приведена ниже

l, км.......................................... 10 25 50

∆d, см........................................... ….. 0,82 12,80 103,00

Относительная ошибка……. ….........1: 1 200 000 1: 200 000 1: 50 000

Отсюда видно, что влияние кривизны Земли на определение горизонтальных расстояний при /= 10 км составляет 1: 1 200 000 ее длины, что допустимо при самых точных измерениях гори­зонтальных расстояний на земной поверхности.

Поэтому при измерениях на площади круга с радиусом в 10 км уровенную поверхность можно считать за плоскость, a d практически равным I.

Кривизна Земли оказывает значительное влияние на опре­деление вертикальных расстояний. Отрезок CB=k (рис. 6) вы­ражает это влияние. Определим величину этого отрезка из ра­венства

d² = 2Rk + k² = k(2R + k),

откуда

k=d²/(2R + k)

По малости k по сравнению с 2R формулу можно написать так:

k= d²/2R (5)

Ниже приведены данные, показывающие влияние кривизны Земли на определение вертикальных расстояний.

d, м...................................................100 200 300 1000 10 000

k, мм........................................................0,8 3,1 7,1 78,0 7850,0

Отсюда следует, что при определении превышений между двумя точками следует учитывать поправку на кривизну Земли.