Арифметическая средина. Средняя квадратическая ошибка. Предельная и относительная ошибки

КЛАССИФИКАЦИЯ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИИ. СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ ОШИБОК.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ

При геодезических измерениях неизбежны ошибки. Эти ошибки бывают грубые, систематические и случайные. К грубым ошиб­кам относятся просчеты в измерениях по причине невниматель­ности наблюдателя или неисправности прибора, и они полно­стью должны быть исключены. Это достигается путем по­вторного измерения. Систематические ошибки происходят от известного источника, имеют определенный знак и величину, и их можно учесть при измерениях или вычислениях. Влияние систе­матических ошибок на результат измерений сводится к мини­муму путем введения поправки к результату измерения или при­менением соответствующей методики измерений.

Случайные ошибки имеют место при каждом измерении. Эти ошибки обусловлены точностью прибора, квалификацией наблю­дателя, влиянием внешней среды, и полностью исключить их из результатов измерений нельзя. Закономерность таких ошибок проявляется лишь при большом числе измерений.

Так как случайные ошибки исключить из результатов изме­рений нельзя, то возникают две задачи: как из результатов из­мерений получить наиболее точную величину и как оценить точность полученных результатов измерений. Эти задачи можно разрешить с помощью теории ошибок измерений.

В основу теории ошибок положены следующие свойства слу­чайных ошибок:

1. Малые ошибки встречаются чаще, а большие реже.

2. Ошибки не превышают известного предела.

3. Положительные и отрицательные ошибки, одинаковые по абсолютной величине, одинаково часто встречаются.

4. Сумма ошибок, деленная на число измерений, стремится к нулю при большом числе измерений.

Исходя из четвертого свойства случайных ошибок при геодези­ческих измерениях одинаковой точности, за окончательный ре­зультат принимают среднее арифметическое из ряда измерений.Если измерена одна и та же величина п раз и получены результаты: l₁, l₂, l₃,..., l_n, то

(12)

Величина х называется арифметической срединой или вероят-нейшим значением измеренной величины.

Разности между каждым измерением и арифметической сре­диной называются вероятнейшими ошибками измерений:

(13)

Сложив равенства (13), получим

(14)

Из формул (12) и (14) следует, что [υ] = 0.

Точность результатов измерений оценивается средней квадратической ошибкой. Средняя квадратическая ошибка одного измерения вычисляется по формуле:

(15)

где [и²] — сумма квадратов вероятнейших ошибок; п — число из­мерений.

Средняя квадратическая ошибка арифметической средины вычисляется по формуле:

(16)

Предельная ошибка не превышает утроенной средней квадратической ошибки, т. е.

(17)

Пример.* Линия измерена шесть раз. Определить ее вероят-нейшую длину и оценить точность этого результата. Вычисления приведены в табл. 1.

Таблица 1

№ п/п	Длина линии, м	υ, СМ	υ2	Вычисления
	225,26 225,23 225,22 226,14 225,23 225,12	+6 +3 +2 -6 +3 -8		т=√158/(6-1)=5,6см М=5,6/√6=2,3см
хср = 225,20	[υ] = о	[υ2] = 158

По формулам (15) и (16) вычислены абсолютные средние квадратические ошибки, а оценивать точность измерения длины линии необходимо по относительной ошибке. Поэтому нужно абсолютную ошибку разделить на длину линии. Для нашего примера относительная ошибка вероятнейшего значения изме­ренной линии равна