Уравнения прямой, проходящей через данную точку и через две данные точки

II. Прямая линия на плоскости

Замечания.

Примеры.

Примеры.

1) х=0 – уравнение оси ординат Оу, у=0 – уравнение оси абсцисс Ox.

2) х у=0 – уравнение пары прямых Ох и Оу.

3) s w:val="24"/></w:rPr><m:t>=0</m:t></m:r></m:e></m:eqArr></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> - система уравнений, определяющая точку – начало координат О(0;0)

4)– системауравнений, определяющая четверку точек А(1,0), В(0,1), С(-1,0), Д(0,-1).

Определение 2. Линия на плоскости называется алгебраической, если в какой-либо аффинной системе координат (в частности, в прямоугольной декартовой) уравнение этой линии можно представить в виде: Ғ(х,у)=0, где Ғ(х,у) – многочлен от переменных х, у, то есть сумма одночленов вида (а R, s, t Z). Степенью члена при а ≠0 называется число s+t. Степенью многочлена Ғ(х,у) называется наивысшая степень его членов. Степень многочлена Ғ(х,у) называется порядком данной линии.

1) или – прямая линия – алгебраическая линия 1-го порядка.

2) х²+у²=1 или х²+у²-1=0 – окружность – алгебраическая линия 2-го порядка.

3) (х²+у²-ах)²=а²(х²+у²) или (х²+у²-ах)²-а²(х²+у²)=0 – кардиоида – алгебраическая линия 4-го порядка.

4) – не является алгебраической линией (таких линий существует бесконечное множество, еще, например, y=e ͯ они называются трансцендентными (выходящими за пределы).

Замечание 1. Можно доказать следующую теорему: понятия алгебраической линии и ее порядка не зависят от выбора аффинной системы координат.

Определение 3. Аналитической геометрией на плоскости называется раздел геометрии, в котором свойства алгебраических линий второго и первого порядков исследуются алгебраическими методами.

2) Одним из основателей аналитической геометрии (наряду с Пьером Ферма) является Рене Декарт – французский философ, математик, физик, физиолог;

3) В дальнейшем будем использовать только прямоугольную декартову систему координат.

Определение 1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется её направляющим вектором.

Замечание. Прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, любые два из них коллинеарны, так как они параллельны одной прямой.

Положение прямой определено однозначно, если даны её направляющий вектор и некоторая её точка или две точки прямой.

Определение 2. Нормалью к прямой называется любая ей перпендикулярная прямая. Её направляющий вектор называется нормальным вектором данной прямой.

Теорема 1. Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀) и имеющая нормальный вектор (a;b), задаётся уравнением:

a(x-x₀)+b(y-y₀)=0 (1)

Доказательство.

1) Докажем, что координаты любой точки M(x;y) прямой удовлетворяют уравнению (1).

Имеем: (x-x₀;y-y₀), (a;b). => =0 => a(x-x₀)+b(y-y₀)=0.

2) Докажем, что координаты любой точки N(x;y), не лежащей на данной прямой, уравнению (1) не удовлетворяет.

Действительно, _┴ => ≠0 => a(x-x₀)+b(y-y₀)≠0.

Согласно определения 1 из §6 уравнение вида (1) – уравнение данной прямой.

Теорема доказана.

Теорема 2. Прямая, проходящая через две данные точки M₁(x₁;y₁) и M₂(x₂;y₂), задаётся уравнением:

(2)

Доказательство.

1) Пусть M(x;y) произвольная точка данной прямой.

=(x-x₁;y-y₁),

=(x₂-x₁;y₂-y₁).

|| => их соответствующие координаты пропорциональны и справедливо равенство (2).

2) Пусть точка N(x;y) не лежит на прямой, тогда || и равенство (2) не выполняется.

По определению уравнение вида (2) – уравнение данной прямой.

Теорема доказана.

Пример. Найти уравнение прямой, содержащей медиану CD треугольника ABC с вершинами: A(1;-4), B(3;2), C(5;-1).

1)

2) CD(2-5;-1-(-1))=(-3;0).

Пусть M(x;y) – произвольная точка данной прямой.

y = -1 – уравнение CD.

Или: y = -1.