Моделирование поведения систем

Классификация видов моделирования систем

Моделирование систем

Классификация видов моделирования может быть проведена по разным основаниям. Один из вариантов классификации приведен на рисунке.

Рис. — Пример классификации видов моделирования

В соответствии с классификационным признаком полноты моделирование делится на: полное, неполное, приближенное.

При полном моделировании модели идентичны объекту во времени и пространстве.

Для неполного моделирования эта идентичность не сохраняется.

В основе приближенного моделирования лежит подобие, при котором некоторые стороны реального объекта не моделируются совсем. Теория подобия утверждает, что абсолютное подобие возможно лишь при замене одного объекта другим точно таким же. Поэтому при моделировании абсолютное подобие не имеет места. Исследователи стремятся к тому, чтобы модель хорошо отображала только исследуемый аспект системы. Например, для оценки помехоустойчивости дискретных каналов передачи информации функциональная и информационная модели системы могут не разрабатываться. Для достижения цели моделирования вполне достаточна событийная модель, описываемая матрицей условных вероятностей переходов i-го символа алфавита в j-й.

В зависимости от типа носителя и сигнатуры модели различаются следующие виды моделирования: детерминированное и стохастическое, статическое и динамическое, дискретное, непрерывное и дискретно-непрерывное.

Детерминированное моделирование отображает процессы, в которых предполагается отсутствие случайных воздействий.

Стохастическое моделирование учитывает вероятностные процессы и события.

Статическое моделирование служит для описания состояния объекта в фиксированный момент времени, а динамическое — для исследования объекта во времени. При этом оперируют аналоговыми (непрерывными), дискретными и смешанными моделями.

В зависимости от формы реализации носителя и сигнатуры моделирование классифицируется на мысленное и реальное.

Мысленное моделирование применяется тогда, когда модели не реализуемы в заданном интервале времени либо отсутствуют условия для их физического создания (например, ситуация микромира). Мысленное моделирование реальных систем реализуется в виде наглядного, символического и математического. Для представления функциональных, информационных и событийных моделей этого вида моделирования разработано значительное количество средств и методов.

При наглядном моделировании на базе представлений человека о реальных объектах создаются наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте. Примером таких моделей являются учебные плакаты, рисунки, схемы, диаграммы.

В основу гипотетического моделирования закладывается гипотеза о закономерностях протекания процесса в реальном объекте, которая отражает уровень знаний исследователя об объекте и базируется на причинно-следственных связях между входом и выходом изучаемого объекта. Этот вид моделирования используется, когда знаний об объекте недостаточно для построения формальных моделей. Аналоговое моделирование основывается на применении аналогий различных уровней. Для достаточно простых объектов наивысшим уровнем является полная аналогия. С усложнением системы используются аналогии последующих уровней, когда аналоговая модель отображает несколько (или только одну) сторон функционирования объекта.

Макетирование применяется, когда протекающие в реальном объекте процессы не поддаются физическому моделированию или могут предшествовать проведению других видов моделирования. В основе построения мысленных макетов также лежат аналогии, обычно базирующиеся на причинно-следственных связях между явлениями и процессами в объекте.

Символическое моделирование представляет собой искусственный процесс создания логического объекта, который замещает реальный и выражает его основные свойства с помощью определенной системы знаков и символов.

В основе языкового моделирования лежит некоторый тезаурус, который образуется из набора понятий исследуемой предметной области, причем этот набор должен быть фиксированным. Под тезаурусом понимается словарь, отражающий связи между словами или иными элементами данного языка, предназначенный для поиска слов по их смыслу.

Традиционный тезаурус состоит из двух частей: списка слов и устойчивых словосочетаний, сгруппированных по смысловым (тематическим) рубрикам; алфавитного словаря ключевых слов, задающих классы условной эквивалентности, указателя отношений между ключевыми словами, где для каждого слова указаны соответствующие рубрики. Такое построение позволяет определить семантические (смысловые) отношения иерархического (род/вид) и неиерархического (синонимия, антонимия, ассоциации) типа.

Между тезаурусом и обычным словарем имеются принципиальные различия. Тезаурус — словарь, который очищен от неоднозначности, т.е. в нем каждому слову может соответствовать лишь единственное понятие, хотя в обычном словаре одному слову может соответствовать несколько понятий.

Если ввести условное обозначение отдельных понятий, т.е. знаки, а также определенные операции между этими знаками, то можно реализовать знаковое моделирование и с помощью знаков отображать набор понятий — составлять отдельные цепочки из слов и предложений. Используя операции объединения, пересечения и дополнения теории множеств, можно в отдельных символах дать описание какого-то реального объекта.

Математическое моделирование — это процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью. В принципе, для исследования характеристик любой системы математическими методами, включая и машинные, должна быть обязательно проведена формализация этого процесса, т.е. построена математическая модель. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и от задач исследования объекта, от требуемой достоверности и точности решения задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект с некоторой степенью приближения.

Для представления математических моделей могут использоваться различные формы записи. Основными являются инвариантная, аналитическая, алгоритмическая и схемная (графическая).

Инвариантная форма — запись соотношений модели с помощью традиционного математического языка безотносительно к методу решения уравнений модели. В этом случае модель может быть представлена как совокупность входов, выходов, переменных состояния и глобальных уравнений системы. Аналитическая форма — запись модели в виде результата решения исходных уравнений модели. Обычно модели в аналитической форме представляют собой явные выражения выходных параметров как функций входов и переменных состояния.

Для аналитического моделирования характерно то, что в основном моделируется только функциональный аспект системы. При этом глобальные уравнения системы, описывающие закон (алгоритм) ее функционирования, записываются в виде некоторых аналитических соотношений (алгебраических, интегродифференциальных, конечноразностных и т.д.) или логических условий. Аналитическая модель исследуется несколькими методами:

• аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными состояния системы;
• численным, когда, не умея решать уравнения в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных (напомним, что такие модели называются цифровыми);
• качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

В настоящее время распространены компьютерные методы исследования характеристик процесса функционирования сложных систем. Для реализации математической модели на ЭВМ необходимо построить соответствующий моделирующий алгоритм.

Алгоритмическая форма — запись соотношений модели и выбранного численного метода решения в форме алгоритма. Среди алгоритмических моделей важный класс составляют имитационные модели, предназначенные для имитации физических или информационных процессов при различных внешних воздействиях. Собственно имитацию названных процессов называют имитационным моделированием.

При имитационном моделировании воспроизводится алгоритм функционирования системы во времени — поведение системы, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы. Основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия и другие, которые часто создают трудности при аналитических исследованиях. В настоящее время имитационное моделирование — наиболее эффективный метод исследования систем, а часто и единственный практически доступный метод получения информации о поведении системы, особенно на этапе ее проектирования.

В имитационном моделировании различают метод статистических испытаний (Монте-Карло) и метод статистического моделирования.

Метод Монте-Карло — численный метод, который применяется для моделирования случайных величин и функций, вероятностные характеристики которых совпадают с решениями аналитических задач. Состоит в многократном воспроизведении процессов, являющихся реализациями случайных величин и функций, с последующей обработкой информации методами математической статистики.

Если этот прием применяется для машинной имитации в целях исследования характеристик процессов функционирования систем, подверженных случайным воздействиям, то такой метод называется методом статистического моделирования.

Метод имитационного моделирования применяется для оценки вариантов структуры системы, эффективности различных алгоритмов управления системой, влияния изменения различных параметров системы. Имитационное моделирование может быть положено в основу структурного, алгоритмического и параметрического синтеза систем, когда требуется создать систему с заданными характеристиками при определенных ограничениях.

Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования. При построении комбинированных моделей производится предварительная декомпозиция процесса Функционирования объекта на составляющие подпроцессы, и для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных подпроцессов строятся имитационные модели. Такой подход дает возможность охватить качественно новые классы систем, которые не могут быть исследованы с использованием аналитического или имитационного моделирования в отдельности.

Информационное (кибернетическое) моделирование связано с исследованием моделей, в которых отсутствует непосредственное подобие физических процессов, происходящих в моделях, реальным процессам. В этом случае стремятся отобразить лишь некоторую функцию, рассматривают реальный объект как «черный ящик», имеющий ряд входов и выходов, и моделируют некоторые связи между выходами и входами. Таким образом, в основе информационных (кибернетических) моделей лежит отражение некоторых информационных процессов управления, что позволяет оценить поведение реального объекта. Для построения модели в этом случае необходимо выделить исследуемую функцию реального объекта, попытаться формализовать эту функцию в виде некоторых операторов связи между входом и выходом и воспроизвести данную функцию на имитационной модели, причем на совершенно другом математическом языке и, естественно, иной физической реализации процесса. Так, например, экспертные системы являются моделями ЛПР.

Структурное моделирование системного анализа базируется на некоторых специфических особенностях структур определенного вида, которые используются как средство исследования систем или служат для разработки на их основе специфических подходов к моделированию с применением других методов формализованного представления систем (теоретико-множественных, лингвистических, кибернетических и т.п.). Развитием структурного моделирования является объектно-ориентированное моделирование.

Структурное моделирование системного анализа включает:

• методы сетевого моделирования;
• сочетание методов структуризации с лингвистическими;
• структурный подход в направлении формализации построения и исследования структур разного типа (иерархических, матричных, произвольных графов) на основе теоретико-множественных представлений и понятия номинальной шкалы теории измерений.

При этом термин «структура модели» может применяться как функциям, так и к элементам системы. Соответствующие структуры называются функциональными и морфологическими. Объектно-ориентированное моделирование объединяет структуры обоих типов в иерархию классов, включающих как элементы, так и функции.

В структурном моделировании за последнее десятилетие сформировалась новая технология CASE. Аббревиатура CASE имеет двоякое толкование, соответствующее двум направлениям использования CASE-систем. Первое из них — Computer-Aided Software Engineering — переводится как автоматизированное проектирование программного обеспечения. Соответствующие CASE-системы часто называют инструментальными средами быстрой разработки программного обеспечения (RAD — Rapid Application Development). Второе — Computer-Aided System Engineering — подчеркивает направленность на поддержку концептуального моделирования сложных систем, преимущественно слабоструктурированных. Такие CASE-системы часто называют системами BPR (Business Process Reengineering). В целом CASE-технология представляет собой совокупность методологий анализа, проектирования, разработки и сопровождения сложных автоматизированных систем, поддерживаемую комплексом взаимосвязанных средств автоматизации. CASE — это инструментарий для системных аналитиков, разработчиков и программистов, позволяющий автоматизировать процесс проектирования и разработки сложных систем, в том числе и программного обеспечения.

Ситуационное моделирование опирается на модельную теорию мышления, в рамках которой можно описать основные механизмы регулирования процессов принятия решений. В центре модельной теории мышления лежит представление о формировании в структурах мозга информационной модели объекта и внешнего мира. Эта информация воспринимается человеком на базе уже имеющихся у него знаний и опыта. Целесообразное поведение человека строится путем формирования целевой ситуации и мысленного преобразования исходной ситуации в целевую. Основой построения модели является описание объекта в виде совокупности элементов, связанных между собой определенными отношениями, отображающими семантику предметной области. Модель объекта имеет многоуровневую структуру и представляет собой тот информационный контекст, на фоне которого протекают процессы управления. Чем богаче информационная модель объекта и выше возможности манипулирования ею, тем лучше и многообразнее качество принимаемых решений при управлении.

При реальном моделировании используется возможность исследования характеристик либо на реальном объекте целиком, либо на его части. Такие исследования проводятся как на объектах, работающих в нормальных режимах, так и при организации специальных режимов для оценки интересующих исследователя характеристик (при других значениях переменных и параметров, в другом масштабе времени и т.д.). Реальное моделирование является наиболее адекватным, но его возможности ограничены.

Натурным моделированием называют проведение исследования на реальном объекте с последующей обработкой результатов эксперимента на основе теории подобия. Натурное моделирование подразделяется на научный эксперимент, комплексные испытания и производственный эксперимент. Научный эксперимент характеризуется широким использованием средств автоматизации, применением весьма разнообразных средств обработки информации, возможностью вмешательства человека в процесс проведения эксперимента. Одна из разновидностей эксперимента — комплексные испытания, в процессе которых вследствие повторения испытаний объектов в целом (или больших частей системы) выявляются общие закономерности о характеристиках качества, надежности этих объектов. В этом случае моделирование осуществляется путем обработки и обобщения сведений о группе однородных явлений. Наряду со специально организованными испытаниями возможна реализация натурного моделирования путем обобщения опыта, накопленного в ходе производственного процесса, т.е. можно говорить о производственном эксперименте. Здесь на базе теории подобия обрабатывают статистический материал по производственному процессу и получают его обобщенные характеристики. Необходимо помнить про отличие эксперимента от реального протекания процесса. Оно заключается в том, что в эксперименте могут появиться отдельные критические ситуации и определиться границы устойчивости процесса. В ходе эксперимента вводятся новые факторы возмущающие воздействия в процесс функционирования объекта.

Другим видом реального моделирования является физическое, отличающееся от натурного тем, что исследование проводится а установках, которые сохраняют природу явлений и обладают физическим подобием. В процессе физического моделирования задаются некоторые характеристики внешней среды и исследуется поведение либо реального объекта, либо его модели при заданных или создаваемых искусственно воздействиях внешней среды. Физическое моделирование может протекать в реальном и модельном (псевдореальном) масштабах времени или рассматриваться без учета времени. В последнем случае изучению подлежат так называемые «замороженные» процессы, фиксируемые в некоторый момент времени.

В этом разделе рассматриваются общие закономерности моделирования поведения систем. Интерес представляет, прежде всего, математическое моделирование, т.е. возможность формализованного описания систем. Применительно к системам модели могут быть качественными декларативными и носить характер описания свойств. Такие модели полезны, так как способствуют пониманию, но если мы хотим что-то точно предсказать, проверить, рассчитать или сделать, то необходимы формальные количественные модели. Построение модели определяется целью исследования или, иными словами, чтобы получать разумные ответы, нужно задавать разумные вопросы. Основными требованиями к модели являются удобство и адекватность. Удобство модели определяется степенью ее детализации и формой представления, возможностью интерпретации ее параметров. Адекватность модели характеризует ее пригодность для описания системы и достижения цели исследования. В первом случае модель должна быть достаточно простой, во втором – достаточно сложной. Эти критерии противоречивы или, лучше сказать, взаимно дополнительны, как если бы некто, разглядывая объект в микроскоп, пытался сохранить и детали, и поле зрения. Еще одним критерием является полнота, или универсальность модели. Применительно к сложным системам это требование редко выполняется. Скорее имеет место множественность моделей, фиксирующая уровень нашего незнания и ограниченные возможности экспериментирования и проверки истинности (верификации) моделей, а без наличия новых фактов, требующих объяснения, процесс моделирования лишен необходимой основы. Мы вынуждены по части судить о целом, что почти всегда приводит к неоднозначности построения (синтеза) модели. Проблема синтеза не решается однозначно без дополнительных ограничений, выдвигаемых самим исследователем. Конечно, играет роль и феноменология, т.е. умозрительные построения, но это часто не устраняет неоднозначности. Эмпирические модели строятся на основе обобщения экспериментальных фактов, относящихся ко всем системам данного типа, методом индукции. К этому классу относятся, например, регрессионные модели, параметры которых определяются из экспериментальных данных. Теоретические модели строятся методом доказательства из исходных общих посылок (предположений), которые сами принимаются без доказательства и не противоречат опыту. К этому классу относятся, например, формальные логические модели.

Основная трудность при моделировании системы, если мы хотим определить причины поведения, состоит в выборе существенных переменных (параметров) и установлении инвариантов – функций параметров, остающихся неизменными при некоторых (допустимых) преобразованиях переменных, определяемых симметрией системы. Мы рассмотрим три уровня организации: неживые системы, биологические (живые) системы и социальные системы (человек, общество), что обусловлено качественно различными уровнями абстракции при моделировании и выборе существенных переменных.

Неживые системы. Общим для них является то, что основную роль играют здесь физические законы, устанавливающие физические ограничения на выбор существенных переменных и допустимых преобразований. В свою очередь, физические законы являются следствием свойств симметрии пространства – времени (однородность, изотропность), что приводит к инвариантности законов относительно трансляций, вращений и т.п. Любой закон сохранения (вещества, энергии и т.п.) является следствием инвариантности некоторой функции существенных переменных относительно группы допустимых преобразований для данной системы, например относительно перестановки правого и левого, пространственного отражения в начале координат, малых вращений в произвольной точке, инвариантность относительно произвольного бесконечно малого преобразования координат, калибровочная инвариантность уравнений вещества и поля и т.п. Общим для систем этого уровня является механизм поддержания равновесия с окружающей средой – энтропийный механизм. Он состоит в том, что система может сохранять равновесие со средой только путем увеличения энтропии или, иными словами, при возрастании неопределенности в системе и ее разрушении.

Из сказанного отнюдь не следует, что уровень неживых систем является однородным с точки зрения моделирования. Здесь используются модели разной степени общности в зависимости от цели исследования. Наиболее характерными из них являются причинные модели, статистические модели, квантовомеханические модели.

Биологические системы. Для живых систем также выполняются физические законы и физические ограничения. Нас может интересовать перемещение системы в пространстве или физические процессы в организме на клеточном уровне. Однако сущность живых систем иная. Основное их свойство состоит в наличии ощущений, и этим обусловлены выбор существенных переменных, а также все закономерности и модели поведения живых систем. Основная задача для биологических макросистем состоит в изучении поведения системы во взаимоотношении с окружающей средой, которое определяется в терминах существования сообществ биологических видов, трофических связей (кто кого ест). Развитие биологических видов обусловлено такими законами, как естественный отбор, выживание наиболее приспособленного, борьба за существование, модификация видов посредством вариации, вымирание и дивергенция (расхождение) признаков и т.п. Для живых систем характерны целесообразные действия, поэтому их модели в качестве существенных переменных содержат такие величины, как вход (стимул), выход (реакция), обратная связь, информация, цель, функция. В основном, используются эмпирические модели в виде зависимостей выхода от входа, включающие линейную комбинацию переменных и взаимодействия разных порядков с неизвестными коэффициентами, которые определяются на основе опытных фактов.

Общим для взаимоотношения живых систем с окружающей средой является то, что наряду с энтропийным механизмом поддержания равновесия, появляются новые: гомеостатический и морфогенетический. Гомеостатический механизм основан на поддержании стабильности (гомеостазиса), т. е. той области значений внешних параметров (параметров среды), внутри которой возможно существование организма. Достигается это или изменением функций в ответ на внешнее воздействие, или изменением окружающей среды. Любая живая система обладает рецепторами (датчиками, сенсорами), позволяющими ей оценивать свое положение относительно границы гомеостазиса (x) и способностью к определённым действиям (u). Получая информацию (сигнал) из окружающей среды, она формирует свои действия в зависимости от характера информации с помощью обратной связи так, чтобы остаться в области гомеостазиса. Морфогенетический механизм связан с перестройкой структуры системы и новым ростом и проявляется, когда возможности гомеостатического механизма исчерпаны.

Биологические системы относятся к классу самоуправляемых систем рефлексивного типа.

Искусственные технические системы с точки зрения моделирования поведения можно отнести к живым системам, так как они являются копиями живых систем, созданными людьми для выполнения заданных функций (достижения заданных целей). Для живых систем наряду с физическими ограничениями (ограничениями условий) важными становятся целевые (критериальные) ограничения, которые система устанавливает сама для поддержания равновесия со средой. Для технических систем целевые (критериальные) ограничения устанавливаются людьми при проектировании и использовании этих систем. При этом физические ограничения влияют на целевые и должны ими учитываться.

Социальные системы. Для социальных систем также имеют место физические ограничения, на них накладываются биологические ограничения. Нас может интересовать перемещение систем в пространстве, ощущения и инстинкты людей и т.п. Однако сущность социальных систем иная. Основное их свойство состоит в разумности, и этим свойством обусловлены выбор существенных параметров и все закономерности и модели поведения социальных систем. Поведение этих систем реализуется в форме разумной деятельности, направленной на достижение определенных целей. Закрепление и передача опыта происходит не путем эволюции, естественного отбора и накопления полезных признаков (хотя и это имеет место), а главным образом, посредством обучения на основе накопления знаний, обмена знаниями и их распространения в масштабах человеческого общества. Модели поведения социальных систем в качестве существенных переменных содержат такие величины, как затраты, ресурсы, продукция, эффект, результат, польза и т.п., понимаемые в широком смысле.

Обратные связи, возникающие в социальных системах, не могут быть описаны с помощью функций поведения рефлексивного типа. При моделировании таких систем необходимо учитывать процедуры обработки информации из-за их сложности, длительности, запаздывания, вносимых искажений, но главное, из-за изменения характера поведения, которое зависит от мировосприятия и описывается в терминах принятия решений на основе получаемой информации. Решение зависит от информации сложным образом, при этом зависимость не является однозначной. Кроме того, сложность связана с тем, что любая группа, любой отдельный человек в рамках социальной системы имеют свои цели и средства их достижения. Основными системными целями являются сохранение (улучшение) условий функционирования, расширение деятельности системы, минимизация усилий, получение пользы и т.п.

Гомеостатический механизм проявляется специфическим образом в форме выработки, принятия и реализации решений. Когда возможности системы в рамках гомеостатического механизма исчерпаны, используется морфогенетический механизм (перестройка, реорганизация системы).

Рассмотрим некоторые наиболее характерные классы моделей, применяемые для описания поведения систем.

Модели «вход – выход» являются наиболее распространенными. Их можно условно разделить на четыре группы: структурно-параметрические, функционально-операторные, информационные и модели целевого управления. С каждым типом модели связан определенный «удобный» способ описания.

В моделях первой группы результат функционирования (выход) системы представляется в виде функции, зависящей от элементов системы (их характеристик, переменных) и отношений между ними:

(3.3.1)

Этот тип модели характерен для замкнутых и относительно замкнутых систем и соответствует «микроописанию» системы, когда может детально рассматриваться структура системы. Наиболее известная модификация (3. 3.1) представляется как линейная комбинация аргументов и их взаимодействий разного порядка. Тогда (3.3.1) принимает вид

(3.3.2)

Выражение (3.3.2) в простейшем случае может быть записано в виде разложения в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки, тогда оно описывает изменение величины.

В моделях второй группы результат функционирования (выход) системы представляется в виде преобразования входного элемента x под действием последовательности операторов:

(3.3.3)

где R ₁, R ₂,…, R_n – операторы, описывающие процесс преобразования входного элемента. Эта модель соответствует алгоритмическому описанию поведения системы.

Модели третьей группы имеют вид

(3.3.4)

где I ₁, I ₂ – информация на входе и выходе системы, соответственно; F ₁, F ₂ – функции (функционалы); n – порядок итерации; K – критерии, характеризующие условия «останова» процедуры. Эта модель соответствует схеме имитационного моделирования поведения системы.

Для модели четвертого типа результат функционирования (выход) системы представляется в виде

(3.3.5)

где C_i – набор целей, Y_j – набор условий, О_k – набор ограничений, определяемые как самой системой, так и внешними системами. Этот тип модели соответствует макроописанию системы.

Отметим, что в рассмотренных моделях выход может неявно зависеть от времени через аргументы. При необходимости может быть установлена аналогия между группами моделей, заключающаяся в определении соответствия между множествами переменных (первая модель), операторов (вторая модель), информации (третья модель), векторов, описывающих внешние взаимосвязи системы (четвертая модель).

Динамические модели. Эти модели имеют вид дифференциальных уравнений первого порядка. Они получили распространение в задачах управления движением макрообъектов, а затем были перенесены на более широкую область. Трудность их применения связана с возможностью содержательной интерпретации величин, характеризующих систему. Выделяют несколько видов таких моделей: модели без управления, одноцелевые и многоцелевые модели с управлением.

Модели без управления не содержат свободных параметров или функций. Они записываются в виде

(3.3.6)

где x – фазовые переменные системы, t – время, x – случайные величины, характеризующие внешние условия. В этом случае определяются не отдельные траектории, а их статистики, например, математические ожидания и дисперсии.

Одноцелевые модели. Они имеют вид

(3.3.7)

где u (t) – управление, выбор которого осуществляется системой из условия достижения заданной цели. Часто используется дополнительное условие минимизации или максимизации некоторого функционала качества, например, в виде

(3.3.8)

при переходе системы за время T из состояния x ₀ в состояние x_Т.

Многоцелевые модели. Пусть поведение изучаемой системы определяется действиями нескольких систем, в распоряжении которых имеются управления u, v, w …. Тогда модель имеет вид

(3.3.9)

причём управления выбираются так, чтобы удовлетворить дополнительным условиям

которые отражают определенные интересы соответственно первой, второй и других систем. Если системы состоят из субъектов, то эти модели описывают класс систем, называемых многоцелевыми (кибернетическими), которые являются обобщением управляемых систем и имеют более сложное поведение. Методы решения перечисленных задач при различных упрощающих предположениях хорошо известны, и мы не будем на них останавливаться. Интерпретация фазовых переменных зависит от природы системы и целей исследования.

Логические модели. Эти модели основаны на формальной или нечеткой логике и содержат сигнатуру (область определения аргументов) и правила вывода. Сигнатура включает задание некоторого набора логических переменных, например, объединение, пересечение, дополнение, импликация и т.п., выбираемого в зависимости от предметной области. Вывод строится на основе общих правил, связывающих условие (основание) и следствие, и известных фактов о поведении системы. В качестве примера такой модели можно привести вывод на основе правил «модус поненс»1 и «модус толленс»2. Первое правило имеет вид, второе Здесь A – основание, B – следствие, A¢, B¢, A¢¢, B¢¢ – факты, причем во втором правиле отрицательные. Логические модели могут применяться для описания поведения живых, технических и социальных систем. Использование нечеткого вывода расширяет возможности этих моделей.

В заключение обсудим соотношение между моделями поведения, моделями программы и моделями структуры. В случае моделей поведения эквивалентно лишь поведение, программы и структуры могут быть различны. В случае моделей программ из подобия программ вытекает подобие поведения, так как программа задает поведение. В случае моделей структуры из подобия структур вытекает подобие поведения и подобие программ.

Основу для установления соответствия моделей систем дает отношение изоморфизма. Пусть имеются две системы S ₁ и S ₂, возможно, разной природы. Поведение S ₂ является моделью поведения S ₁, тогда и только тогда, если:

- существует взаимно-однозначное соответствие между наблюдаемыми величинами систем S ₁ и S ₂;

- можно установить взаимно-однозначное отображение между величинами S ₁ и величинами S ₂, в рамках которого все отношения между наблюдаемыми величинами S ₁ эквивалентны отношениям между соответствующими величинами S ₂. Тогда говорят об изоморфизме между системами с точки зрения эквивалентного поведения. Отношение изоморфизма является рефлексивным, симметричным и транзитивным, т. е. представляет собой обобщенную эквивалентность (подобие).