Формула полной вероятности.
Пусть появление некоторого события А возможно лишь при наступлении одного n из попарно несовместных событий Вi, образующих полную группу и называемых гипотезами.
Тогда вероятность события А равна сумме попарных произведений вероятности каждой из этих гипотез Вi на соответствующую условную вероятность появления события А.
Формулы Байеса.
Пусть появление в некотором испытании события А возможно лишь при наступлении одного n из попарно несовместных событий Вi, образующих полную группу и называемых гипотезами.
Тогда, зная вероятности гипотез Р(Вi) до проведения испытания, мы можем переоценить их после проведения испытания, в результате которого появилось событие А.
,
где - вероятности гипотез, вычисленные после проведения испытания, при условии, что событие А произошло (апостериорные вероятности гипотез); Р(А) – полная вероятность события А,
Р(Вi) – вероятности гипотез, известные до испытания (априорные вероятности гипотез),
— вероятность наступления события А при истинности гипотезы Вi.
|
|
Теорема Байеса — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая определяет вероятность наступления события в условиях, когда на основе наблюдений известна лишь некоторая частичная информация о событиях. По формуле Байеса можно более точно пересчитывать вероятность, принимая во внимание как ранее известную информацию (априорные данные), так и данные новых наблюдений (апостериорные данные).
Вычисление вероятностей событий в серии независимых испытаний.
Схема Бернулли - последовательность независимых испытаний (т.е. таких испытаний, вероятность исходов которых не зависит ни от номера испытания, ни от результатов предшествующих испытаний) с двумя возможными исходами. Вероятность первого исхода - А, называемого успехом, в каждом испытаний равна р, тогда вероятность второго исхода – неуспеха, равна разности единицы и р: Р(А)=р Р()=1-р=q.
Формула Бернулли
Вероятность, что в серии из n испытаний по схеме Бернулли,событие А, произойдёт ровно k раз:
, где число сочетаний из “n” элементов по “k” элементов в каждом.
р – вероятность наступления события А в одном испытании, –вероятность не наступления события А в одном испытании, n – общее число испытаний, k – число успехов в серии из n испытаний.
Теорема Лапласа: применяется при больших значениях n, когда формулу Бернулли использовать сложно.
Пусть Р(А)=р – вероятность проявления события А в одном испытании,
тогда вероятность, что в серии из n независимых испытаний событие А произойдёт точно k раз приблизительно вычисляется по формуле Лапласа:
|
|
, где ; где , .
Интегральная теорема Лапласа. – позволяет определить вероятность того, что событие А в n независимых испытаниях произойдёт не менее и не болеераз.
, где , ;
Значения функций и приводятся в таблицах (см тб. 1 и 2)
Закон Пуассона распределения вероятностей массовых и редких событий.
-вероятность того, что в серии из n испытаний «успех» произойдёт ровно k раз.
где , n – общее число независимых испытаний, р – вероятность «успеха» в одном испытании.
Формула Пуассона применяется, когда n – очень велико, а р – достаточно мало.