Колебания цепочки одинаковых атомов

В качестве одномерной модели твердого тела рассмотрим цепочку из n одинаковых атомов с массой М и межатомным расстоянием а, которые могут перемещаться вдоль прямой линии (рисунок 7.3).

Каждый атом в такой системе обладает одной степенью свободы, а вся система – N степенями свободы.

Допустим, что в момент времени t = 0 мы сместили из положения равновесия атом с номером n = 0 на расстояние u₀. Так как атомы в цепочке связаны друг с другом силами связи, то такое возбуждение распространится по цепочке в виде волны сжатия, и все остальные атомы сместятся из своих положений равновесия.

Пусть u_n(x, t) – это смещение в какой-то момент времени n -го атома относительно его положения равновесия в точке с координатой x_n=n∙. Если смещения атомов из положения равновесия малы по сравнению с расстоянием , то силы межатомного взаимодействия можно считать квазиупругими (согласно закону Гука, они пропорциональны смещениям). Атомы в цепочке как бы связаны между собой упругими пружинками, каждая из которых характеризуется упругой постоянной С, а смещение u_n описывает колебания атома вблизи положения равновесия.

Найдем уравнение движения n -го атома. Будем считать, что каждый атом взаимодействует лишь с ближайшими соседями, которые оказывают на него наиболее сильное влияние. Влиянием более удаленных атомов будем пренебрегать. Рассмотрим силы, действующие на n -й атом. Исходя из предположения о взаимодействии с ближайшими соседями, силы, действующие на n -й атом, можно представить в виде результирующей силы:

,

где b – силовая постоянная, которая связана с упругой постоянной С = b.

Зная выражение для силы, запишем закон движения n -го атома:

.

Решение этого уравнения будем искать в виде бегущей волны:

u_n=u₀exp[i(k∙n∙-w∙t)]= u₀∙exp[i(k∙х_n-w∙t)],

где u₀ – определяет смещение атома с n = 0 в момент времени t = 0;

w – круговая частота;

k = 2p/l – волновое число.

Подставим решение в уравнение движения n -го атома:

.

Из данного выражения следует дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся в цепочке из одинаковых атомов:

.

Поскольку w не может быть отрицательной величиной, минус соответствует области отрицательных значений k (рисунок 7.4).

Из анализа закона дисперсии следует, что при значении волнового числа , т. е. при коротких длинах волн l = 2а, циклическая частота колебаний достигает максимального значения w = w_max = .

Оценим величину w_max» k, где – скорость распространения акустических волн. Можно считать, что = 5×10³ м/с. Если принять для твердых тел = 3×10^{-10 м, то} » 10^-10 м^-1 и w_max» 5×10¹³с^-1, что по порядку величины соответствует частотам тепловых колебаний атомов в твердых телах.

При малых значениях k (что соответсвует длинам волн, значительно большим, чем расстояния между атомами в цепочке) w зависит от k линейно, как и для случая непрерывной упругой струны с линейной плотностью.

Таким образом, отличие дискретной цепочки от непрерывной струны заключается в отсутствии пропорциональности между частотой w и волновым числом k. Это связано с дисперсией волн. Короткие волны, которым соответствует более высокая частота колебаний частиц, вследствие инерции масс частиц распространяются медленнее, чем длинные волны. Наличие дисперсии волн проявляется в отклонении кривой w = w(k) от линейной зависимости, справедливой для упругой струны. Цепочка из одинаковых атомов ведет себя в отношении распространения акустических волн как упругая струна только лишь при длинах волн l >> 2.