Преобразование чисел из одной системы в другую

Системы счисления.

Системы счисления. Преобразование из одной системы в другую.

Системой счисления называют совокупность приемов и правил наименования и обозначения чисел, с помощью которых можно установить однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов. Система счисления, в которой величина цифры определяется ее местоположением (позицией), называется позиционной.

Общераспространенна десятичная система счисления. Для нас наибольший интерес представляет двоичная система счисления, в которой основанием является число 2. В этом случае для записи чисел используются два символа 0 и 1.

Дробное число в двоичной системе счисления представляется в виде:

А = а_n*2 ^n-1 +a _n-1*2^n-2 +... +a₁*2⁰, a₀*2^-1 + a_-1*2^-2 +...

Перевод целой части числа из десятичной системы в двоичную производится методом последовательного деления числа на 2 до тех пор, пока частное от деления не станет равным единице, например:

При этом число в двоичной системе счисления записывается в виде остатков от деления, начиная с последнего частного, справа налево. В рассмотренном примере: 42 (10) = 101010 (2).

Для перевода дробной части числа последовательно умножаем дробную часть на два.

	X2
	X2
	X2
	X2

Двоичное число записывается в виде целых частей чисел, полученных при умножении только дробной части, начиная сверху после запятой. В рассматриваемом примере (0,6875) (10) = 0,1011(2).

По рассмотренным правилам числа можно переводить и в другие системы счисления, например в восьмеричную, шестнадцатеричную и т. д., во всех случаях умножение или деление производится на основание новой системы счисления. Для представления чисел в любой системе счисления с основанием р используется набор из р символов: для р=2 - (0,1), для р=8 - (0,1,2,3,4,5,6,7), для р=10 - (0,...,9), для р=16 - (0,...,9,A,B,C,D,E,F).

Для отличия записи числа в одной системе счисления от другой в конце числа ставится знак - признак системы счисления.

В - двоичная система счисления

Q - восьмеричная система счисления

H - шестнадцатеричная система счисления

Примеры:

101,101B = (4+0+1),(0,5+0+0,125) = 5,625

AB9, 81H = (10*256+11*16+9),(8/16+1/256) = 2745,50390625.

Нижеприведенная таблица используется для перевода одноразрядных шестнадцатеричных и восьмеричных чисел в двоичные числа.

Восьмеричная	Двоичная	Шестнадцатеричная	Двоичная
		A
		B
		C
		D
		E
		F

Правила перевода из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную систему: переводим по порядку все символы - цифры, затем нули слева и справа в записи двоичного числа отбрасываем. Пример:

725,54Q = (111 010 101, 101 100) = 111010101,1011B

Обратный перевод из двоичной системы:

Для перевода в восьмеричную систему: разбиваем двоичное число на группы по 3 разряда, начиная от запятой вправо и влево, добавляем недостающие нули слева и справа.

Аналогично для перевода из двоичной в шестнадцатеричную разбиваем на группы по 4 разряда. Пример:

1110101101,10111B = (001 110 101 101,101 110) = 1655,56Q

1110101101,10111B = (0011 1010 1101,1011 1000) = 3AD,B8H