2014-02-09
1014Свойства сходящихся последовательностей
Теорема 1. Последовательность может иметь только один предел.
Доказательство: Допустим, что и, при этом. Построем окрестности точек так, чтобы они не пересекались (рис.2). Поскольку - предел, то согласно определению 3, построенная окрестность содержит в себе все элементы последовательности за исключением конечного числа, но - также предел, и ее окрестность тоже должна содержать все элементы последовательности за исключением конечного числа. Поскольку мы построили окрестности так, что они не пересекаются, то получено противоречие, поэтому наше предположение о существовании нескольких пределов ложно.
Рис.2.
Определение 8. Последовательность называется ограниченной, если такая, что для:.
Определение 9. Последовательность называется неограниченной, если, что.
Пример. Последовательность, для которой -й член определяется как, будет ограниченной, поскольку все элементы этой последовательности, т.е..
Пример. Последовательность, для которой -й член определяется как, будет неограниченной, поскольку нельзя найти такую постоянную, для которой все элементы этой последовательности будут меньше, чем. Действительно, для любой постоянной найдется элемент последовательности с номером, для которого.
|
|
|
Теорема 2 (необходимое условие сходимости последовательности). Если последовательность сходящаяся, она ограничена.
Замечание. Ограниченность последовательности необходимое, но не достаточное условие ее сходимости: если последовательность ограничена, из этого, вообще говоря, еще не вытекает, что она сходящаяся.
Задание. Привести пример ограниченной расходящейся последовательности.
Теорема 3. Пусть і - сходящиеся:,. Если, то найдется такой номер, что для будет выполняться неравенство:.
Теорема 4. Пусть і - сходящиеся:,. Тогда
· если, то;
· если для некоторого числа (или) для, то (или).
Теорема 5. Пусть имеется три последовательности:,,, для которых для. Если, то.
Доказательство. Поскольку, то согласно определению 4, это означает, что:
, что для:
Поскольку, то согласно определению 4, это означает, что:
, что для:
.
Обозначим
.
Для выполняются одновременно неравенства (5) и (6), а потому имеем:
для, что для:, т.е..
Определение 10. Пусть даны последовательности,. Суммой, произведением, частным (отношением) последовательностей, называются последовательности,, соответственно.
Пример. Пусть, тогда -ые члены последовательностей,, определяются соответственно:,,.
Теорема 6. Пусть і - сходящиеся:,. Тогда
·;
·;
·,;
·.
Замечание. В условиях теоремы очень важным является требование сходимости последовательностей и.
|
|
|
Задание. Может ли сумма (произведение, отношение) сходящейся и расходящейся последовательностей быть сходящейся последовательностью? Ответ обосновать.
Задание. Может ли сумма (произведение, отношение) двух расходящихся последовательностей быть сходящейся последовательностью? Ответ обосновать. Привести примеры.
