Теорема Кантора. Следствие из теоремы Кантора

Связь между непрерывностью и равномерной непрерывностью функции

Понятие равномерной непрерывности функции

Теорема Кантора. Следствие из теоремы Кантора

Связь между непрерывностью и равномерной непрерывностью функции

Понятие равномерной непрерывности функции

План

Лекция 8. Равномерная непрерывность функции

Пусть функция определена и непрерывна на множестве, (рис.1). Поскольку непрерывна в точке, то по определению непрерывности функции на основе определения предела функции по Коши, это будет означать, что, что для будет выполняться неравенство:. В точке функция также непрерывна, поэтому, что для будет выполняться неравенство:. Заметим, что для одинакового для разных точек и, в которых является непрерывной, окрестности этих точек в общем случае разные:, т.е. окрестность зависит не только от, а и от точки, в которой рассматривается непрерывность. Таким образом, строгое определение непрерывности функции в точке будет выглядеть следующим образом: функция непрерывна в точке, если для, что для будет выполняться неравенство:.

Рис.1.

Возникает вопрос: можно ли для найти так, чтоб оно подходило для одновременно? В этом случае такое будет зависеть лишь от и не будет зависеть от, а потому может быть выбрано еще до выбора точки.

Определение 1. Говорят, что функция равномерно непрерывна на, если для (это зависит лишь от и не зависит от), что для будет выполняться неравенство:.

Равномерная непрерывность означает, что во всех частях множества достаточна одна и та же близость двух значений аргумента, чтобы достичь заданной близости соответствующих значений функции.

Замечание 1. Если функция равномерно непрерывна на, то она непрерывна в каждой точке этого множества. Обратное, вообще говоря, не верно.

Действительно, пусть функция равномерно непрерывна на, тогда для нее имеет место определение 1. Переобозначим:, тогда из определения 1 получим определение непрерывности функции в точке, которое базируется на определении предела функции по Коши.

Замечание 2. Не любая функция, непрерывная на множестве, будет равномерно непрерывной на этом множестве.

Определение 2. Функция не будет равномерно непрерывной на, если, что для, а.

Пример. Доказать, что функция не будет равномерно непрерывной на множестве.

Заметим, что функция является непрерывной на.

Возьмем. Понятно, что для обязательно найдется, что (действительно, для этого должно быть бóльшим). Тогда, если, то для, а.

Таким образом, действительно не будет равномерно непрерывной на множестве.

Теорема (Кантора). Пусть функция определена и непрерывна на, тогда она равномерно непрерывна на. (без доказательства).

Определение 3. Пусть функция определена и ограничена на,,. Разность называется колебанием функции на.

Следствие из теоремы Кантора. Пусть функция определена и непрерывна на. Тогда для сегмент можно разбить на части таким образом, чтобы колебание функции на каждой части было меньшим.

Доказательство. Поскольку непрерывна на, то по теореме Кантора равномерно непрерывна на, т.е. для, что для будет выполняться неравенство:. Разобьем на части точками так, чтобы длины всех полученных частичных сегментов были меньшими, т.е.. Возьмем произвольный частичный сегмент из множества. Пусть этот сегмент -. На этом сегменте возьмем произвольно две точки:. Поскольку, то, а потому из условия равномерной непрерывности имеем, что. Поскольку непрерывна на, то непрерывна на любом частичном сегменте. По второй теореме Вейерштрасса достигает на инфимума и супремума, т.е., что

.

Колебание функции на частичном сегменте равняется:

,

что и нужно было доказать.