Пространство выборок

Y = {y, y, …, y} — множество исходов эксперимента, y— i-ый исход эксперимента. Каждый из yсвязан с соответствующим элементом состояния природы.

Z = {z, z,…, z} — множество состояний природы. В общем случае статистическая связь:

P(y/z) — условная вероятность исхода y при данном состоянии природы z.

P(y/z)0; , .

Совокупность из трёх элементов пространства Z, Y с заданными на Y условными вероятностями называют пространством выборок.

V = {x, y, P(y/z)}.

В конечномерном случае, когда m и дискретно и конечно, то пространство выборок удобно рассматривать в виде таблицы, в которой строками являются состояния природы, столбцами — исходы эксперимента, а элементами — условные вероятности p, которые определяют вероятности исхода yпри состоянии природы z.

Пример: «задача о тест-контроле»

Состояния природы: z< ПДК

z> ПДК

Три исхода: y– вредных примесей не обнаружено;

у– вредных примесей обнаружено меньше ПДК;

у– вредных примесей обнаружено больше ПДК.

Очевидно, что при каждом исходе эксперимента, можно принимать какую-либо из гипотез.

yX = {x, x,…, x}

d(y) — решающая функция.

В играх без экспериментальных статистик решения принимают, исходя из априорных вероятностей состояния природы; статистик принимает решение, исходя из исхода эксперимента.

Чтобы формализовать задачу выбора своих решений, статистик должен заранее проанализировать все возможные исходы эксперимента и установить правило , позволяющее принимать решение xпри каждом yY; d: называют решающей функцией.

Пусть в задаче имеется возможность обрабатывать продукцию по технологиям x, x, x. Этот выбор должен осуществиться при исходах y, y, y.

Решающая функция d(y) = x. Эту функцию можно описать в виде пар (i, j).

Варианты построения решений:

1. (1, 1), (2, 1), (3, 2);

2. (1, 1), (2, 2), (3, 2) и т. д.

Для анализа нужно рассматривать пространство D, образованное всеми возможными решающими функциями. Каждая решающая функция разбивает множество Y исходов эксперимента на непересекающиеся подмножества S= {y: d(y) = x}Y. Это непересекающееся множество можно определить для каждого xX. Для нашего эксперимента для первого случая S= {y, y};

S= {y}; S= {}. Аналогично можно сделать для каждой решающей функции.

X = {x, x} — двухальтернативная задача. Решающая функция d(y) принимает два значения:

d(y) =; y = S; S=

y в этом случае — критическая область.

Понятие «решающая функция» позволяет принимать (выбирать) такую из них, которая даёт наиболее выгодное решение. Возникает вопрос: как определить качество решающей функции? Качество решающей функции удобно оценивать с помощью функции риска.