Принципы оптимальной линейной фильтрации сигнала на фоне помех

13.1 Постановка задачи

Рис1 Воздействие сигнала и помехи на линейный четырехполюсник

K(iw)

S(t), n(t)

Sвых(t), nвых(t)

Система связи должна быть спроектирована так, чтобы она обладала способностью наилучшим образом противостоять мешающему действию помех.

В данном разделе для нас особый интерес представляет возможность ослабления вредного действия помехи с помощью линейной фильтрации, основанной на использовании линейных частотных фильтров.

На протяжении длительного времени к подобным частотным фильтрам представлялось требование возможно более равномерного пропускания спектра сигнала и возможно более полного подавления частот вне этого спектра. Идеальным считается фильтр с прямоугольной П-образной АЧХ.

С развитием теории информации и статистической теории обнаружения сигналов трактовка функций линейного фильтра, а также подход к его построению существенно изменились.

Стало очевидным, что указанная выше трактовка имеет следующие недостатки:

1. не учитывается форма сигнала (которая может быть различной при одной и той же ширине спектра сигнала);

2. не учитываются статистические свойства помехи.

Коренной перелом в теории и практике линейной фильтрации связан с появлением работ Н. Винера, А.Н. Колмагорова, В.А. Котельникова и других ученых, которые поставили и решили задачу синтеза фильтра, оптимального (в определенном смысле) для приема заданного сигнала, действующего на фоне помехи с заданными статистическими характеристиками.

В зависимости от решаемой задачи–обнаружение сигнала, измерение его параметров или разрешение (различение) сигналов–критерий оптимальности может быть разным.

Сигнал помеха

Для задачи обнаружения сигналов в шумах наибольшее распространение получил критерий максимума отношения на выходе фильтра.

Сигнал помеха

Требования к фильтру, максимизирующему отношение,

можно сформулировать следующим образом (см.рис1):

1. на вход линейного 4^х-полюсника с постоянными параметрами и передаточной функцией K(iw) подается аддитивная смесь сигнала S(t) и шума n(t).Сигнал полностью известен (детерминирован): это означает, что заданны его форма и положение на оси времени. Шум представляет собой случайный процесс с заданными статистическими характеристиками;

2. требуется синтезировать фильтр, обеспечивающий получение на выходе, возможно, наибольшего отношения пикового значения сигнала к среднеквадратичному значению шума. При этом, не ставиться условие сохранения формы сигнала, т.к. для обнаружения его в шумах–форма значения не имеет.

13.2 Передаточная функция оптимального фильтра.

Сигнал помеха

Под синтезом фильтра будем подразумевать отыскание передаточной функции, физически осуществимого фильтра, обеспечивающего max

ФЧХ

АЧХ

Как известно, передаточную функцию 4^х-полюсника можно представить в виде произведения АЧХ и ФЧХ. Передаточную функцию будем представлять в форме:

K(iω)= K(ω)*e^iφ(ω)

Т.О., задача сводится к отысканию АЧХ (K(w)) и ФЧХ (φ_к(ω)) оптимального фильтра. Наиболее просто эта задача решается для сигнала, действующего на фоне «белого шума» с равномерным спектром:

W(ω)=W₀=const.

Для отыскания оптимальной (в указанном выше смысле) передаточной функции K(iω) составим выражения для сигнала и шума на выходе фильтра, сначала порознь, а затем в виде их отношения.

1 2π

1 2π

13.1

∞

∞

Сигнал в фиксированный момент времени t₀ определяем общим выражением:

-∞

-∞

S_вых(t₀)= ∫S(ω)* K(ω)* e^iωt*dω= ∫S(ω)*K(ω)*e^{i[θ(ω)+φ(ω)+ωt}₀^] dω

∞

∞

1

∞

∞

А среднеквадратичное значение помехи–выражением:

13.2

W0 2π

-∞

-∞

1 2π

1

σ_вых=[ ∫ W(ω)*K²(ω) dω] =[ ∫ K²(ω) dω]

Здесь S(ω)=S(ω)*e^iθ(ω)–есть спектральная плотность заданного входного сигнала S(t), а под t₀ подразумевается момент времени (пока еще неопределенный), соответствующий max («пику») сигнала на выходе фильтра.

Очевидно: для образования «пика» требуется использование всей энергии сигнала, а это возможно не ранее окончания действия входного сигнала.

Иными словами, t₀ не может быть раньше момента окончания сигнала.

∞

1 2π

Составим теперь отношение:

Sвых(t0)	=	13.3 ∞ -∞ 1 W0 2π ∫S(ω)*K(ω)*ei[θ(ω)+φ(ω)+ωt0] dω
σвых	[∫K2(ω) dω]

Для упрощения воспользуемся известным неравенством Шварца:

13.4

∫F₁(x)*F₂(x)*dx ²≤∫ F₁(x) ²*dx* F₂(x) ²*dx

где F₁(x) и F₂(x)–(в общем случае) комплексные функции. Это неравенство (13.4) обращается в равенство только при выполнении условия (13.5)

F₂(x)=А*F₁^*(x)

Т.е. когда F₂(x) пропорциональна функции F₁^*(x)–комплексно-сопряженной F₁(x), где А–произвольный постоянный коэффициент.

Вставляя в (13.4) вместо:

F₁(x) S(ω)*e^iθ(ω);

F₂(x) K(ω)*e^i[φ(ω)+ωt₀^]

(13.4) можно записать в форме:

13.5

1 2π

1 2π

1 2π

∫S(ω)*K(ω)*e^{i[θ(ω)+φ(ω)+ωt}₀^]*dω ≤[ ∫S²(ω)*dω* ∫K²(ω)*dω]^1/2

Тогда (с целью экономии времени опуская промежуточные преобразования) (13.3) перепишется:

13.6

1 2π

1 W01/2

S вых (t0) σвых

=…≤ [ S²(ω)*dω]^1/2

Учитывая что выражение в []–есть не что иное, как полная энергия Э входного сигнала, приходим к следующему результату:

13.7

Э W0

S вых (t0) σвых

≤

где t₀–время действия сигнала (от начала на входе до конца на выходе). Из (13.5) следует, что это неравенство обращается в равенство при выполнении условия:

K(ω)*e^{i[θ(ω)+φ(ω)+ωt}₀^]=А*S^*(ω)=А*S(ω)*e^-iθ(ω)

(13.8)

- передаточная функция.

(13.8) Итак, передаточная функция фильтра, работающего по критерию (на выходе)

(здесь шум - есть «Белый шум»)

, где (13.8)

- АЧХ, а - ФЧХ

Комплексная функция , отвечающая условию (13.8)

Согласована со спектральными характеристиками сигнала – амплитудной и фазовой.

В этой связи рассматриваемый оптимальный фильтр часто называют согласованным фильтром.

Итак, отношение пикового значения сигнала к среднеквадратичному значению помехи на выходе согласованного фильтра определяется равенством

,где (13.9)

S – пиковое значение сигнала, σ –среднеквадратичное значение помехи, W₀ - суммарная энергия помехи за время t₀, Э - полная энергия импульса.

Из (13.8) вытекают 2 требования к согласованному фильтру:

1) АЧХ фильтра должна отвечать условию:

(13.11)

Здесь постоянный коэффициент А должен иметь размерность обратную размерности спектральной плотности.

2) ФЧХ – должна отвечать условию (13.10)

(13.10)