2014-02-10
588
Симплексом называют выпуклую фигуру (или тело), образованную n+1 вершинами в пространстве n факторов, причем эти n+1 вершин не принадлежат одновременно ни одному из подпространств из n-1 факторов. В пространстве одного фактора (n = 1) симплексом служит отрезок установленного размера, при n=2—треугольник, при n=3— тетраэдр. При n³4 привычным образом интерпретировать симплекс невозможно.
Симплексный метод позволяет совмещать пробные опыты для определения направления движения с рабочим движением по поверхности отклика к области оптимума.Основная идея симпплексного метода состоит в следующем. Если во всех n+l вершинах симплекса поставить опыты и измерить отклик, то (при неслишком большом уровне шумов) по величине отклика в вершинах можно судить, в каком направлении следует двигаться, чтобы приблизиться к экстремуму. Рассмотрим это на примере двухфакторного пространства (рис. 6.6). Допустим, что на основе некоторых соображений (о них говорится ниже) построен начальный симплекс 1 с вершинами С1, С2, С3 и в них измерен отклик у. Если уровень шума не слишком велик, то, очевидно, отклик в точке С1 является наименьшим по сравнению с откликами в вершинах С2 и С3. Тогда можно полагать, что максимум лежит приблизительно в направлении луча, проведенного из вершины С1 через центр А симплекса. В соответствии с этим предположением при применении симплексного метода продвижение к экстремуму совершается путем зеркального отражения вершины с минимальным значением отклика через противолежащую сторону (или грань) симплекса.
Таким образом, новый симплекс II образуется путем постановки опыта всего лишь в одной новой, точке С4 (рис. 6.6). После получения наблюдаемого значения отклика в точке С4 снова сравнивают величины откликов в вершинах симплекса II выбирают новую вершину с минимальным откликом и вновь отражают ее относительно противолежащей стороны, образуют симплекс III и т. д., пока симплекс, не совершит полный оборот относительно одной из вершин. Путь движения к максимуму показан на рис. 6.6.
Порядок работы при использовании симплексного метода состоит в следующем:
1. По уже известным правилам выбирают начальную точку С1, а также интервалы варьирования Dхi для всех факторов (i=1, 2,..., n).
2. Выбирают безразмерную величину rсим стороны (или ребра) симплекса в относительных единицах по отношению к интервалам варьирования Dхi; наиболее просто выбрать rсим= 1- Стремятся, чтобы в безразмерных единицах стороны симплекса были равны (регулярный симплекс).
3. Вычисляют координаты остальных вершин начального симплекса. Обычно для этого используют следующее правило. Через начальную точку С1 проводят осевые линии, параллельные координатным осям, и выбирают квадрант, в котором, по предположениям, должен располагаться экстремум целевой функции. В начальную точку помещают вершину симплекса С1, а сам симплекс I располагают так, чтобы его стороны, образовали с осевыми линиями равные углы, отмеченные на рис. 6.6 двойными дужками. При таком расположении начального симплекса координаты его вершин определяют с помощью матрицы (табл. 6.1), в которой даны координаты вершин (п + 1)-мерного симплекса в n-факторном пространстве.
Таблица 6.1
| Факторы хi | х1 | х2 | х3 | ... | хi | ... | хn | |
| Вершина С1 «С2 «С3 . . . Вершина Сi+1 . . . Вершина Сn+1 | х10 х10+рDх1 х10+qDх1 . . . x10+qDx1 . . . х10+Dqx1 | х20 х20+qDх2 х20+рDх2 . . . x20+qDx2 . . . х20+qDx2 | х30 х30+qDх3 х30+qDх3 . . . х30+qDx3 . . . х30+qDx3 | ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | хi0 xi0+qDxi xi0+qDxi . . . хi0+pDxi . . . xi0+qDxi | ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | xn0 xn0+qDxn xn0+qDxn . . . xn0+qDxn . . . xn0+pDxn |
Безразмерные относительные величины р и q при таком расположении симплекса определяют по формулам
(6.25)
На рис. 6.6 показаны размеры рDх1 и qDx1 для случая rсим=1. Если принимают rсим¹1, то Dхi умножают еще на rсим. Знаки Dxi зависят от номера квадранта, в котором расположен начальный симплекс. Для n=2 имеем r»0,966, q»O,259.
4. В вершинах симплекса выполняют наблюдения отклика и сравнивают по величине; выбирают вершину с минимальным откликом и отражают ее относительно противолежащей стороны или грани; находят вершину следующего симплекса II, п вершин которого одновременно являются и вершинами предыдущего симплекса I. Координаты отраженной вершины вычисляют по формуле
(6.26)
где i—номер фактора (i=l, 2,..., п); l —номер вершины k- госимплекса, где обнаружен минимальный отклик; k+1— номерпоследующего симплекса, содержащего отраженную вершину (ей условно присваивают тот же номер l); n—число факторов,
Если минимальный отклик оказался сразу в двух вершинах, то вопрос, какую из них отражать, решают произвольно, например с помощью подбрасывания монеты.
5. Ставят эксперимент в отраженной вершине нового симплекса и отклик в ней сравнивают с откликами в остальных га вершинах, а затем снова выбирают вершину с минимальным откликом и отражают ее через противолежащую сторону (или грань) симплекеа. Если в новой вершине (k+ 1)-гo симплекса отклик оказался опять минимальным, то возвращаются к k- му симплексу и отражают вторую по минимальности вершину. Если это явление повторяется, то отражают третью по минимальности вершину и т. д.
6. Эксперимент продолжают до тех пор, пока симплекс не совершит полный оборот вокруг одной из вершин. На рис. 6.6 это вершина С11. Очевидно, что точность нахождения точки экстремума зависит от двух причин: размера симплекса и влияния помех. Для уточнения положения экстремальной точки статического объекта в последних симплексах, рекомендуется ставить параллельные опыты, чтобы снизить влияние помех, а также выполнить опыт в середине того симплекса, в вершинах которого отклик оказался максимальным по сравнению с остальными симплексами.
Достоинства симплексного метода: 1) достаточно высокая помехоустойчивость в смысле выбора направления движения к экстремуму; 2) изучение поверхности отклика сочетается с одновременным рабочим движением к экстремуму; 3) при оптимально выбранном размере симплекса обеспечивается высокая скорость выхода к области экстремума; 4) высокая оперативность, позво
