Основное уравнение фильтрования для несжимаемых осадков

Скоростью фильтрации , м/с, называется объем фильтрата, выделившегося в единицу времени с единицы фильтрующей поверхности, то есть

, (4.1)

где F – площадь фильтрующей поверхности, м²;

V – объем жидкости, м³;

t – время фильтрации, с.

Процесс принудительной фильтрации воды при фильтровании пульп подчиняется гидродинамическому закону Дарси для фильтрации жидкости в грунтах.

Скорость фильтрации при ламинарном движении жидкости в соответствии с законом Дарси можно записать как

. (4.2)

где k_ф – коэффициент фильтрации, м/с; зависит от размера и формы частиц, пористости слоя, вязкости жидкости. Коэффициент фильтрации k_ф определяется путем фильтрования соответствующих пульп в лабораторных условиях, приближенных к производственным;

J – гидравлический градиент.

Значение гидравлического градиента определяют из выражения

, (4.3)

где DP – давление столба жидкости, Па;

d_ж – плотность жидкости (воды), кг/м³;

h – высота слоя, м.

При турбулентном режиме движения жидкости скорость фильтрации определяют по формуле

,

где n – показатель степени гидравлического градиента (n=0,5÷1).

С другой стороны фильтрацию воды через слой осадка и фильтрующую поверхность можно рассматривать как истечение её через тонкие капилляры в осадке. Объем воды, протекающей через сечение капиллярной трубки, выражается по закону Пуазейля следующей зависимостью:

, (4.4)

где d – диаметр капилляра, м;

l – длина капилляра, м;

m – вязкость жидкости, Па·с.

Объем протекающей воды можно выразить через скорость истечения воды из капиллярной трубки и площадь её сечения

, (4.5)

где F_к – площадь сечения капиллярной трубки, м².

Приравнивая правые части выражений (4.4) и (4.5) получим

.

Откуда выразим скорость истечения жидкости из капиллярной трубки

. (4.6)

Выражение или в формуле (4.6) характеризует сопротивление движению воды, возникающее в капиллярной трубке. Такое сопротивление при фильтровании пульп (суспензий) складывается из сопротивления осадка и фильтрующей поверхности. Сопротивление осадка можно выразить через удельное сопротивление, то есть сопротивление единицы объема осадка, тогда

, (4.7)

где r₀ – удельное сопротивление осадка;

h – высота (толщина) слоя осадка, образующегося на фильтрующей поверхности;

r₀ – удельное сопротивление фильтрующей поверхности, то есть сопротивление единицы площади поверхности.

Подставляя значение R из формулы (4.7) в формулу (4.6), получим выражение для скорости фильтрации воды при фильтровании пульп (суспензий)

. (4.8)

При w=1 м/с; h=1 м; m=1 Н×с/м²; DP=r₀+r₀. Из полученного выражения следует физический смысл величин r₀ и r₀. r₀ – это потери напора жидкости с вязкостью m=1 Н×с/м² при фильтровании через слой осадка толщиной h=1 м со скоростью w=1 м/с. r₀ – потери напора при фильтровании жидкости с вязкостью m=1 Н×с/м² при фильтровании со скоростью w=1 м/с через фильтрующую поверхность площадью 1 м².

Высота (толщина) осадка на фильтрующей поверхности фильтра увеличивается пропорционально объему получаемого фильтрата, поэтому высоту осадка можно выразить следующим соотношением:

, (4.9)

где a – объем осадка, приходящийся на единицу объема фильтрата. Подставляя это значение в уравнение (4.8), будем иметь

или . (4.10)

Интегрируя уравнение (4.10) в пределах от 0 до t при постоянном DP получим

. (4.11)

Разделим левую и правую части выражения на V

. (4.12)

При DP =const это основное уравнение фильтрования для несжимаемых осадков. Графическая интерпретация его в координатах представляет собой функцию (рис. 4.3) линейной зависимости типа . Это прямая линия, наклоненная к оси абсцисс под некоторым углом j и отсекающая на оси ординат отрезок b. Угловой коэффициент – тангенс угла наклона прямой фильтрования, – отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат.

Рис. 4.3. Прямая фильтрования

Величины a и b, необходимые для определения констант фильтрования – удельного сопротивления осадка r₀ и удельного сопротивления фильтрующей поверхности r₀, определяются путем проведения опытного фильтрования испытуемой пульпы на лабораторной фильтровальной установке при заданном постоянном давлении. После определения a и b находят удельные сопротивления осадка r₀ и фильтрующей поверхности r₀:

, м^-2; (4.13)
, м^-1. (4.14)

Вышеприведенные уравнения устанавливают прямую пропорциональную зависимость между скоростью и давлением фильтрования. Этому условию отвечают несжимаемые и малосжимаемые осадки, пористость которых с изменением давления изменяется незначительно.

Для выбора оптимальных показателей фильтрования проводят серию опытов при разных значениях разрежения и по данным этих опытов строят график зависимости удельного сопротивления осадка и фильтровальной ткани от разности давлений. В производственных условиях при продолжительном времени работы поры ткани постепенно забиваются мельчайшими твердыми частицами фильтруемой пульпы, поэтому величина сопротивления ткани со временем возрастает, что приводит к снижению производительности фильтра.

Удельное сопротивление осадка является важной характеристикой фильтруемости рудных концентратов: чем оно выше, тем ниже удельная производительность фильтра и выше влажность осадка. Удельное сопротивление зависит от крупности концентрата. Чем тоньше концентрат, тем его поры ỳже и тем выше удельное сопротивление. На практике для характеристики концентрата пользуются значением его удельной поверхности.