Граничные условия для векторов и

Циркуляция вектора

При внесении вещества в магнитное поле возникают токи намагничивания, поэтому циркуляция вектора будет определяться не только токами проводимости I, но и токами намагничивания I^*, т. е.

. (14)

Если циркуляция векторов и берется по одному и тому же контуру L, то, решив совместно (13) и (14), получим

(15)

где

(16)

- напряженность магнитного поля.

Следовательно,

. (17)

Эта формула выражает теорему о циркуляции вектора: циркуляция вектора по произвольному контуру L равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром.

Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора записывается в виде

[ ´] =, (18)

т. е. ротор вектора равен плотности тока проводимости в той же точке вещества. Используя формулы (16), (17) и (18), имеем

(1+c) =.

Так как = mm₀, то m = 1 + c. (19)

Найдем условия для векторов и на границе раздела двух однородных магнетиков.

Для нахождения условия для вектора применим теорему Гаусса, т. е.

. (20)

В качестве замкнутой поверхности возьмем малой высоты цилиндр, расположенный на границе раздела двух магнетиков (рис. 7).

Рис. 7.

Полный поток вектора сквозь цилиндрическую поверхность запишем с учетом того, что потоком сквозь боковую поверхность цилиндра можно пренебречь:

. (21)

При нахождении обеих проекций вектора на общую нормаль получим и после подстановки в предыдущее равенство получим

. (22)

Следовательно, нормальная составляющая вектора одинакова по обе стороны границы раздела магнетиков и скачка не испытывает.

При нахождении условия для вектора используем теорему о циркуляции, формула (17).

Предположим, что вдоль поверхности раздела двух магнетиков течет поверхностный ток проводимости с линейной плотностью i.

В качестве замкнутого контура L используем прямоугольник, высота которого мала по сравнению с его длиной (рис. 8).

Рис. 8

Циркуляция вектора на боковых сторонах контура L практически равна нулю. Поэтому циркуляцию вектора запишем в виде

,

где i_N - проекция вектора на нормаль к контуру (вектор образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему).

Обе проекции вектора возьмем на общий орт касательной (в магнетике 2), т. е.

.

С учетом этого предыдущее уравнение принимает вид

. (23)

Вывод: при переходе границы раздела двух магнетиков тангенциальная составляющая вектора испытывает скачок из-за наличия поверхностных токов проводимости.

Если же на границе раздела токов проводимости нет, то тангенциальная составляющая вектора не испытывает скачка, т. е.

. (24)

Таким образом, если на границе раздела двух однородных магнетиков тока проводимости нет, то составляющие В_t и Н_n испытывают скачок. Составляющие В_n и Н_t изменяются н с учетом этого в предыдущем уравнении (24) составляющие Н_2t и Н_1t не испытывают скачка, т. е. изменяются непрерывно.