Понятие о методе анализа размерностей и теории подобия

Практически за толщину гидроди­намического пограничного слоя условно принимают расстояние от поверхности до точки, в которой скорость w отличается от скорости невозмущенного потока wж незначительно (обычно на 1 %).

На начальном участке (при малых значениях х) гидродинамический слой очень тонок (в лобовой точке

Рис. Образование пограничного слоя (а) и распределение местного (локального) коэф­фициента теплоотдачи (б) при продольном об­текании тонкой пластины

с координа­той х = 0 толщина равна нулю) и течение в нем ламинарное — струйки жидкости движутся параллельно, не перемешива­ясь. При удалении от лобовой точки тол­щина пограничного слоя растет. На не­котором расстоянии х = х_кр ламинарное течение становится неустойчивым. В по­граничном слое появляются вихри (тур­булентные пульсации скорости). Посте­пенно турбулентный режим течения рас­пространяется почти на всю толщину гидродинамического пограничного слоя. Лишь около самой поверхности пластины в турбулентном пограничном слое сохра­няется тонкий ламинарный, или вязкий, подслой, где скорость не­велика и силы вязкости гасят турбулент­ные вихри.

Аналогичным образом осуществляет­ся и тепловое взаимодействие потока с пластиной. Частицы жидкости, «прилипшие» к поверхности, имеют темпера­туру, равную температуре поверхности t_с.Соприкасающиеся с этими частицами движущиеся слои жидкости охлаждают­ся, отдавая им свою теплоту. От сопри­косновения с этими слоями охлаждаются следующие более удаленные от повер­хности слои потока — так формируется тепловой пограничный слой, в пределах которого температура меня­ется от t_с на поверхности до t_ж в невоз­мущенном потоке. По аналогии с гидро­динамическим пограничным слоем тол­щина теплового пограничного слоя δ_т принимается равной расстоянию от по­верхности до точки, в которой избыточ­ная температура жидкости υ = t - t_c от­личается от избыточной температуры не­возмущенного потока υ_ж = t_ж - t_c на ма­лую величину (обычно на 1 %).

С удалением от лобовой точки коли­чество охлаждающейся у пластины жид­кости увеличивается, и толщина теплово­го пограничного слоя возрастает анало­гично возрастанию δ_г В общем случае толщины теплового и гидродинамическо­го слоев не равны, но часто достаточно близки друг к другу, особенно в газах.

При ламинарном течении тепловой поток от охлаждающейся в пограничном слое жидкости переносится к поверхно­сти пластины только за счет теплопроводности. При этом плотность теплового потока по толщине пограничного слоя неодинакова: на внешней границе q = 0, ибо дальше жидкость не охлаждается; по мере приближения к поверхности зна­чение q возрастает. Для качественного анализа можно предположить, что плот­ность теплового потока q по всей толщи­не пограничного слоя такая же, как и у поверхности.

Это условие соответ­ствует задаче о переносе теплоты тепло­проводностью через плоскую стенку (по­граничный слой толщиной δ_т с темпера­турами t_c и t_ж на поверхностях). Со­гласно решению определения теплового потока через плоскую однородную стенку Q ~ λF(t_c – t_ж)/δ_т

Сравнивая это выражение с формулой (закон Ньютона- Рихмана) Q = αF|t_с - t_ж|, получим для ка­чественных оценок

α ~ λ/δ_т (9.11)

В переходном, а тем более турбулент­ном режимах основное термическое со­противление сосредоточено в тонком ла­минарном подслое, поэтому формула (9.11) приближенно пригодна для оце­нок и в этих режимах, если вместо δ_т под­ставлять толщину ламинарного подслоя.

С увеличением толщины теплового пограничного слоя при ламинарном тече­нии жидкости у поверхности пластины интенсивность теплоотдачи уменьшается. В переходной зоне общая толщина по­граничного слоя продолжает возрастать, однако значение α при этом увеличивает­ся, потому что толщина ламинарного подслоя убывает, а в образующемся тур­булентном слое тепло переносится не только теплопроводностью, но и конвек­цией вместе с перемещающейся массой, т. е. более интенсивно. В результате сум­марное термическое сопротивление теп­лоотдачи убывает.

После стабилизации толщины лами­нарного подслоя в зоне развитого тур­булентного режима коэффициент тепло­отдачи вновь начинает убывать из-за возрастания общей толщины погранич­ного слоя.

Из формулы (9.11) видно, что ко­эффициент теплоотдачи к газам, облада­ющим малой теплопроводностью, будет ниже, чем коэффициент теплоотдачи к капельным жидкостям, а тем более к жидким металлам.

Для получения высоких коэффициентов теплоотдачи к газам стараются ка­ким-либо способом уменьшить толщину пограничного слоя. Проще всего для это­го увеличить скорость течения газа.

При течении жидкости в трубе тол­щина пограничного слоя вначале растет симметрично по всему периметру, как на пластине (рис. 9.4, а), до тех пор, пока слои с противоположных стенок не со­льются на оси трубы. Дальние движение стабилизируется и фактически гидроди­намический (аналогично и тепловой) по­граничный слой заполняет все сечение трубы. В зависимости от конкретных ус­ловий пограничный слой на начальном участке может успеть перейти в турбу­лентный, а может и не успеть. Соответ­ственно стабилизированный режим тече­ния в трубе будет либо турбулентным с ламинарным подслоем около стенки, либо ламинарным по всему сечению.

В связи с особенностями течения жидкости в трубе изменяется и само по­нятие коэффициента теплоотдачи. Для пластины коэффициент α рассчитывался как отношение плотности теплового по­тока q к разности температур внешнего невозмущенного потока и поверхности (или наоборот при t_c > t_ж). В трубе пограничный слой занимает все сечение и невозмущенного потока нет, поэтому под коэффициентом теплоотдачи понима­ют отношение плотности теплового по­тока q к разности температуры стенки и среднемассовой температуры жидко­сти, протекающей через данное сечение трубы. Экспериментально среднемассовая температура жидкости определяется измерением ее температуры после хоро­шего перемешивания.

Локальный коэффициент теплоотда­чи от трубы к текущей в ней жидкости изменяется лишь на начальном участке (рис. 9.4,6), а на участке стабилизиро­ванного течения α_ст= const поскольку толщина пограничного слоя (δ_т= r) по­стоянна. С увеличением скорости тече­ния теплоносителя в трубе α_ст возрастает из-за уменьшения толщины ламинарного подслоя, а с увеличением диаметра трубы уменьшается, поскольку растет тол­щина всего пограничного слоя δ_т= r_т

Рис. 9.4. Образование пограничного слоя (а) и распределение местного коэффициента теп­лоотдачи (б) при турбулентном течении тепло­носителя внутри трубы

Чтобы получить аналитическое выра­жение для коэффициента теплоотдачи, необходимо интегрировать систему диф­ференциальных уравнений, описываю­щих движение жидкости и перенос теплоты в ней. Даже при существенных упрощениях это возможно лишь в от­дельных случаях при ламинарном тече­нии жидкости, поэтому обычно для полу­чения расчетных зависимостей прибега­ют к экспериментальному изучению яв­ления.

Основная трудность, возникающая при экспериментальном исследовании конвективного теплообмена, заключается в том, что коэффициент теплоотдачи за­висит от многих параметров. Например, средний по поверхности коэффициент теплоотдачи от продольно омываемой пластины (см. рис. 9.2) зависит от длины пластины l, скорости набегающего по­тока w_ж и теплофизических параметров жидкости:

Если проводить эксперименты, изме­няя m раз каждый из шести параметров, влияющих на теплообмен, то суммарное число экспериментов будет N = m⁶ т. е. порядка 10⁶.

Теория показывает, что число пара­метров зависит от выбора единиц изме­рения. Наименьшее число параметров получится, если единицы измерения бу­дут связаны с самой решаемой задачей. Так, в качестве единицы длины можно принять не метр, а длину пластины l. Для перевода всех параметров в «но­вую» систему единиц измерения поделим их на l втой же степени, в которой длина входит в их размерность:

Число параметров в правой части уравнения уменьшилось, так как l/l = 1 т. е. м³ избавились от того параметра, который приняли за единицу измерения. Если теперь ввести еще три «новых» еди­ницы измерения: для времени l ²/ν, для массы ρ l³ и, наконец, для отношения тепловой мощности к перепаду темпера­тур λ l (в рассматриваемой системе вели­чин единицы Вт и К раздельно не встре­чаются, а входят лишь в комбинации Вт/К), то в правой части рассматривае­мой зависимости останется всего два безразмерных параметра:

(9.14)

Такие же безразмерные параметры получаются и при анализе теплоотдачи от поверхности трубы, но определяющим размером в них будет не длина l, а диа­метр d соответственно внутренний — при течении жидкости внутри трубы и наружный — при наружном обтекании одной трубы или пучка труб.

Согласно основной теореме метода анализа размерностей (л-теореме) зави­симость между N размерными величина­ми, определяющими данный процесс, мо­жет быть представлена в виде зависимо­сти между составленными из них N— K безразмерными величинами, где K — число первичных переменных с неза­висимыми размерностями, которые не могут быть получены друг из друга. В уравнении (9.12) общее число пере­менных (включая и α) равно 7, из них четыре первичных (их мы принимали за единицы измерения) соответственно без­размерных чисел в уравнении (9.14) N— K = 7 – 4 =3