2014-02-12
1059
Для любого заданного объекта можно определить, принадлежит ли он множеству А.
В частности, если число принадлежит множеству, то будем говорить, что «оно является элементом множества». Так, например, если 7 является элементом множества А, то это утверждение может быть записано следующим образом:
«».
Утверждение «6 не является элементом А» будем обозначать как:
«».
Символ происходит от греческой буквы е.
Отрицание обозначается через.
Такое обозначение отрицания операции (или операционного символа) является общим в математике и часто будет использоваться в дальнейшем.
Будем использовать только множества, которые могут быть явно записаны или же построены путем хорошо определенных процессов.
Множества не так тривиальны, как они могли вначале показаться.
Определение. Пусть даны множества А и В. Пересечением множеств А и В называется множество всех элементов, принадлежащих А и В, и обозначается А ∩ В; таким образом,
}.
Аналогично объединение А и В обозначается АB и определяется следующим образом:
|
|
|
}.
Значения этих обозначений нетрудно запомнить, но иногда бывают ошибки.
Один из путей запомнить, какой символ обозначает какую операцию,— объединить символы в слова и записать:
«ересечение» и
«бъединение».
Эти определения выводятся из слов «и» и «или», и, как следствие, мы имеем
=,=
и, что, вероятно, менее очевидно,
= A, = A.
Эти тождества важны по двум причинам.
Во-первых, из дальнейших математических рассуждений будет видно, что иногда следует сводить (соответственно,). к А или, наоборот, расширять А до (соответственно,).
Во-вторых, можно не обратить на это внимание из-за того, что, выраженные словами, эти тождества могут казаться лишенными смысла даже тогда, когда они логически верны.
Заметим также, что определение объединения использует включение «или», называемое так потому, что оно включает «и» так, что:
{1, 2} {2, 3} = {1, 2, 3},
{1, 2} {2, 3} = {2}.
Элементы в пересечении множеств (в данном случае это — единственное число 2) включаются в объединение.
Это обычная математическая договоренность, и существует пример, в котором математическое значение является более точным, чем при общем употреблении.
Пример 2.1. В предположении, что каждый день или дождливый, или ясный, математическим (или логическим) ответом на вопрос
«Ясно или дождливо сегодня?»
будет
«Да».
Определение. Разность множеств А и В (также называемая дополнением В до А) записывается в виде А\В и определяется соотношением
А\В = {х: х А и х∉ В}.
Поэтому, если А = {1, 2, 3} и B = {2, 3, 4}, то А\В={1} и В\А = (4).
Перед дальнейшим изложением будет удобно определить два специальных множества. Первое из них пустое множество.
|
|
|
Определение. Пустое множество (обозначается ø) есть множество, обладающее свойством
x ∉ ø при любом х.
Второе множество, определение которого зависит от задачи, называют универсальным множеством.
Определение. Универсальное множество (обозначается ξ) есть множество всех рассматриваемых в данной задаче элементов.
Определение. Два множества А и В не пересекаются, если
А В = ø.
Определение. В каждом случае, когда ξ задано, определим дополнение множества А (обозначается А') как
А' = ξ \А = {х: х ∉ А}.
Из определений ø, ξ и А' следует справедливость тождеств
A А'= ξ, А А' = ø.
Будет показано, что для данного ξ эти тождества достаточны, чтобы однозначно определить А'.
Пример 2.3. Пусть
«ξ ={1,2,3,4}, A = {1, 3, 4}, В = {2, 3}, С = {1,4}.
Из определений легко найти, например, А', В С, С\А и т. д.
Будем использовать скобки. Каждое выражение, заключенное в скобки, должно быть выполнено перед тем, как его результат может быть использован в других вычислениях.
Следовательно,
А В' = А {1, 4} = {1, 4},
(А В)' = {3}' = {1, 2, 4},
(В\А) C = {2} C = {1, 2, 4}.
Почему изложение построено на понятии множества, а не числа? Действительно, до сих пор мы использовали числа только как элементы множеств.
Дело в том, что существуют множества более сложные, чем числа.
Мы можем получить числа из множеств, но не наоборот.
Однако для многих приложений последующей теории необходимо сделать точные утверждения о некоторых специальных множествах чисел. Чтобы обеспечить основу, с помощью которой будут конструироваться такие множества, определим:
множество N целых положительных чисел (натуральных чисел):
N = {1,2,3, … }.
Точное определение множества N вместе с арифметическими операциями + и * и его упорядочивание будут даны ниже.
Аналогично Z определяют как множество всех целых чисел:
Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
Конечно, множества N и Z не могут быть выписаны явно (они достаточно велики), но в настоящее время мы должны понимать
«...» как «и так далее».
Рассмотрим теперь множество
A = {1, 2, …, n} = {x:xN,l≤x≤n}.
Оно имеет n элементов.
Будем говорить, что мощность (или размер, норма, длина) этого множества есть n.
Это обозначается как:
|А| = card(A)= n.
Далее любое множество B, которое имеет то же число элементов, что и A, имеет такую же мощность, и, конечно, эти элементы не надо пересчитывать.
Для небольших множеств достаточно легко пересчитать элементы, но для других множеств (например, N) это может быть невозможно. Далее мы дадим строгое, но в то же время неформальное правило для вычисления количества элементов.
Определение. Говорят, что множество X конечно, если X = ø или если для некоторого n N существует множество {1, 2, …, n } такое, что оно имеет то же самое число элементов, что и X.
Если X ≠ ø и никакого n не может быть найдено, то X называют бесконечным.
