Решение. а) Разложим знаменатель дроби на множители, решив биквадратное уравнение

а) Разложим знаменатель дроби на множители, решив биквадратное уравнение . Получим .

Для разложения исходной дроби на простейшие используем метод неопределенных коэффициентов,

.

Приравниваем коэффициенты при равных степенях в правой и левой частях этого равенства:

Отсюда

и .

Тогда

.

б) В этом примере корень знаменателя является кратным кратности 2. Поэтому в разложении дроби на простейшие ему будут соответствовать две дроби:

Это равенство должно соблюдаться для любых значений . Вычисления облегчаются, если в качестве таковых взять значения корней знаменателя:

в) Выделим в числителе дроби производную квадратного трехчлена, а в самом трехчлене - полный квадрат.

Для нахождения последнего интеграла используем рекуррентную формулу:

Итак,

.

Задача 6.3. Проинтегрировать тригонометрические функции

а) б) в).