Погрешности теоретических моделей

Математические модели

Построенные выше физические модели необходимо описать с помощью символов в виде математических формул и уравнений. Эти символы – параметры объектов (они же обозначают физические величины) – связаны между собой в виде выше сформулированных физических законов.

Совокупность формул и уравнений, устанавливающих связь между этими параметрами (физическими величинами) на основе законов физики и полученных в рамках выбранных физических моделей, будем называть математической моделью объекта или процесса.

Следовательно, о физических величинах можно говорить как о параметрах, характеризующих и качественно, и количественно построенные физические модели.

Процесс создания математической модели можно также разделить на 3 этапа:

Этап 1. Составление формул и уравнений, описывающих состояние, движение и взаимодействия объектов в рамках выбранных физических моделей.

Этап 2. Решение и исследование сугубо математических задач сформулированных на первом этапе. Основным вопросом здесь является решение так называемой прямой задачи, т.е. получение теоретических следствий и численных данных. На этом этапе важную роль играет математический аппарат и вычислительная техника (компьютер).

Этап 3. Выяснение того, согласуются ли результаты анализа и вычислений с результатами измерений в пределах точности последних. Отклонение результатов расчётов от результатов измерений свидетельствует:

- либо о неправильности применённых математических методов;

- либо о неверности принятой физической модели;

- либо о неверности процедуры измерений.

Выяснение источников ошибок требует большого искусства и высокой квалификации исследователя.

Бывает, что при построении математической модели некоторые её характеристики или связи между параметрами остаются неопределёнными вследствие ограниченности наших знаний о физических свойствах объекта. Например: иногда оказывается, что число уравнений, описывающих свойства объекта и связи между объектами, меньше числа параметров (физических величин), характеризующих объект. В этих случаях приходится вводить дополнительные уравнения, характеризующие объект и его свойства, иногда даже пытаются угадать эти свойства, для того, чтобы задача была решена, а результаты соответствовали результатам опытов в пределах заданной погрешности. Подобного образа задачи называются обратными.

Проблема достоверности наших представлений об окружающем мире, т.е. проблема соответствия модели объекта и реального объекта, является ключевой проблемой в теории познания. В настоящее время общепринято, что критерием истинности наших знаний является опыт. Модель адекватна объекту, если результаты теоретических исследований (расчёт) совпадают с результатами опыта (измерений) в пределах погрешности последнего.

Погрешности имеют место не только при измерениях, но и при теоретическом моделировании. Для теоретических моделей, в соответствии с природой возникновения, будем различать:

- погрешности, возникающие при разработке физической модели;

- погрешности, возникающие при составлении математической модели;

- погрешности, возникающие при анализе математической модели;

- погрешности, связанные с конечным числом разрядов чисел при вычислениях.

В последнем случае, например, число π в рамках символической записи как отношение длины окружности к диаметру представляет собой точное число, но попытка записать его в численном виде (π=3,14159265…) вызывает погрешность, связанную с конечным числом разрядов.

Перечисленные погрешности возникают всегда. Избежать их невозможно, и их называются методическими. При измерениях методические погрешности проявляют себя как систематические.

Пример: погрешности физической и математической модели маятника, возникающие при измерении периода колебаний маятника в виде тела, подвешенного на нити.

Физическая модель маятника:

- нить – невесома и нерастяжима;

- тело – материальная точка;

- трение отсутствует;

- тело совершает плоское движение;

- гравитационное поле – однородное (т.е. g =const во всех точках пространства, в которых находится тело);

- влияние других тел и полей на движение тела отсутствует.

Очевидно, что реальное тело не может быть материальной точкой, оно имеет объем и форму, в процессе движения или со временем тело деформируется. Кроме того, нить имеет массу, она обладает упругостью и также деформируется. На движение маятника влияет движение точки подвеса, обусловленное действием вибраций, всегда имеющих место. Также на движение маятника влияет сопротивление воздуха, трение в нити и способ ее крепления, внешние магнитное и электрическое поля, неоднородность гравитационного поля Земли и даже влияние гравитационного поля Луны, Солнца и окружающих тел.

Перечисленные факторы, в принципе, могут быть учтены, однако сделать это достаточно трудно. Для этого потребуется привлечь почти все разделы физики. В конечном счете, учет этих факторов значительно усложнит физическую модель маятника и ее анализ. Не учет перечисленных, а также множества других, не упомянутых здесь факторов, существенно упрощает анализ, но приводит к погрешностям исследования.

Математическая модель маятника:

в рамках выбранной простейшей физической модели математическая модель маятника – дифференциальное уравнение движения маятника – имеет следующий вид:

, (1), где L – длина нити; φ – отклонение тела от положения равновесия.

При φ<<1 обычно считают, что sin φ»φ, и тогда уравнение движения записывается:.(2)

Это – линейное дифференциальное уравнение, которое может быть решено точно. Данноерешение имеет вид , где . Отсюда следует, что период колебаний маятника Т ₀=2p/w₀ не зависит от амплитуды φ₀. Однако, это решение нельзя считать точным решением задачи о колебаниях маятника, представленного простейшей физической моделью, поскольку исходное уравнение (1) было другим.

Можно уточнить решение. Если разложить sin φ в ряд и учесть хотя бы первые два члена разложения, т.е. считать, что sinφ»φ+φ³/6, то решение дифференциального уравнения существенно усложнится. Приближенно его можно записать в виде , где . Отсюда следует, что в данном приближении период колебаний маятника Т =2p/w зависит от амплитуды колебаний по параболическому закону.

Таким образом, погрешность математической модели (уравнение (2)), связанная с заменой sin φ на φ, приводит к погрешности результата расчета периода колебаний маятника. Оценка этой погрешности может быть получена из решения задачи во втором приближении.

Проблема построения и анализа математической модели объекта исследования с заданной точностью, а также оценка погрешности расчётов в ряде случаев очень сложна. Требуется высокая математическая культура исследователя, необходим тщательный математический анализ и самой модели, и применяемых методов решения.

Например, не имеет смысла требование решения уравнения (1) с точностью, существенно превышающей точность построения физической модели. В частности, в предыдущем примере нет смысла делать замену sinφ»φ+φ³/6 вместо sinφ»φ, если нить заметно деформируется или сопротивление воздуха велико.

Применение ЭВМ значительно увеличило возможности построения и исследования математических моделей в технике, однако не следует думать, что совершенное знание математики, численных методов и языков программирования позволит решить любую физическую и прикладную задачу. Дело в том, что даже самые изящные и точные методы расчетов не могут исправить ошибки, допущенные при построении физической модели. Действительно, если длина L не постоянна, или если размеры тела сопоставимы с длиной нити, или трение велико и колебания маятника быстро затухают, то даже абсолютно точное решение уравнения (1) не позволит получить точное решение задачи о колебаниях маятника.

Общая характеристика понятия “измерение”
(сведения из метрологии)

В метрологии определение понятия “измерение” даёт ГОСТ 16.263-70.

Измерение – научно обоснованный опыт для получения количественной информации с требуемой или возможной точностью о параметрах объекта измерения.

Измерение включает в себя следующие понятия:

- объект измерения;

- цель измерения;

- условия измерения (совокупность влияющих величин, описывающих состояние окружающей среды и объектов);

- метод измерения, т.е. совокупность приёмов использования принципов и средств измерений (принцип измерения – совокупность физических явлений, положенных в основу измерения);

- методика измерения, т.е. установленная совокупность операций и правил, выполнение которых обеспечивает получение необходимых результатов в соответствии с данным методом.

- средства измерения:

▪ измерительные преобразователи,

▪ меры,

▪ измерительные приборы,

▪ измерительные установки,

▪ измерительные системы,

▪ измерительно-информационные системы;

- результаты измерений;

- погрешность измерений;

- понятия, характеризующие качество измерений:

▪ достоверность (характеризуется доверительной вероятностью, т.е. вероятностью того, что истинное значение измеряемой величины находится в указанных пределах);

▪ правильность (характеризуется значением систематической погрешности);

▪ сходимость (близость друг к другу результатов измерений одной и той же величины, выполняемых повторно одними и теми же методами и средствами и в одних и тех же условиях; отражает влияние случайных погрешностей на результат);

▪ воспроизводимость (близость друг к другу результатов измерений одной и той же величины, выполняемых в разных местах, разными методами и средствами, но приведенных к одним и тем же условиям).