Принцип построения производных единиц СИ

Производные единицы Международной системы образуются на основании законов, устанавливающих связь между физическими величинами, или на основании определений физических величин (например, площадь – метр квадратный, объем – метр кубический, частота – герц приведены в таблице 2).

Соответствующие производные единицы СИ выводятся из уравнений связи между величинами, выражающими данный физический закон или определение, в случае если другие величины выражаются в единицах СИ. Зависимость каждой производной величины от основных отображается ее размерностью.

Размерность величины представляет собой произведение обозначений основных величин, возведенных в соответствующие степени, и является ее качественной оценкой. Пусть какая-то физическая величина Q выражается через основные величины: длину, массу и время. Размерности основных величин выражаются через обозначения этих величин, т. е. размерности длины, массы и времени записываются dim(l) = L, dim(m) = M, dim(t) = T. В этом случае размерность (dimension) величины dim(Q) выражается формулой размерности:

dim(Q) = [L^α ·M^β ·T^γ], (1.3)

где L, М, Т – основные величины; α, β,γ – показатели размерности, представляющие собой целые или дробные, положительные или отрицательные целые числа.

Таблица 2

Примеры производных единиц СИ, наименования и обозначения которых

образованы с использованием наименований и обозначений

основных единиц СИ

Величина	Единица
Наименование	Размерность	Наименование	Обозначение
Русское	Международное
Площадь	L2	квадратный метр	м2	m2
Объем, вместимость	L3	кубический метр	м3	m3
Скорость	LT–1	метр в секунду	м/с	m/s
Ускорение	LT–2	метр на секунду в квадрате	м/с2	m/s2
Волновое число	L–1	метр в минус первой степени	м–1	m–1
Плотность	L–3M	килограмм на кубический метр	кг/м3	kg/m3
Удельный объем	L–3M–1	кубический метр на килограмм	м3/кг	m3/kg
Плотность электрического тока	L–2I	ампер на квадратный метр	A/м2	A/m2
Напряженность магнитного поля	L–1I	ампер на метр	A/м	A/m
Молярная концентрация компонента	L–3N	моль на кубический метр	моль/м3	mol/m3
Яркость	L–2J	кандела на квадратный метр	кд/м	cd/m2

Рассмотрим пример использования размерностей.

Пусть требуется определить силу R, действующую на тело в потоке жидкости. Допустим, что движение жидкости настолько медленно, что инерционными силами по сравнению с силами вязкости можно пренебречь.

В этом случае сила R должна зависеть от скорости u, линейного размера тела l и динамической вязкости m. Эта формула в соответствии с формулой (1.3) должна иметь вид

dim{R} = dim(l^au^bm^g) = {dim(l) }^a {dim(u)}^b {dim(m)}^g,

но dim(R) = LMT^–2; dim(l) = L; dim(u) = LT ^–1; dim(m) = L ^–1 MT ^–1,

поэтому LMT^–2 = L ^a (LT ^–1) ^b (L ^–1 MT ^–1) ^g =L ^{a+b –g} M ^g T^{– b –g}.

Для определения показателей a; b и g имеем систему уравнений

откуда получаем a = 1; b = 1 и g = 1 и, следовательно,

где – безразмерный размер, называемый числом Рейнольдса.

Важным принципом, который соблюден в Международной системе единиц, является ее когерентность (согласованность). Так, выбор основных единиц системы обеспечил полную согласованность механических и электрических единиц. Например, ватт (равный джоулю в секунду) – единица механической мощности равняется мощности, выделяемой электрическим током силой 1 ампер при напряжении 1 вольт.

В Международной системе единиц коэффициенты пропорциональности в физических уравнениях, определяющих производные единицы, равны безразмерной величине.

Когерентные производные единицы Международной системы образуются с помощью уравнений связи между величинами, в которых величины приняты равными единице СИ. При этом руководствуются следующими правилами:

1) пишут уравнение, выражающее в явном виде величину; единицу этой величины требуется установить через другие величины, единицы которых являются основными или уже выражены через основные;

2) если в уравнении связи содержится числовой коэффициент, отличный от единицы, то в правую часть подставляют обозначения величин со значениями в единицах СИ, дающими после умножения на коэффициент общее числовое значение, равное 1;

3) величины в правой части уравнения заменяют единицами измерения и выражают их через основные единицы.

Для пояснения способа образования когерентных производных единиц приведем пример. Для образования единицы энергии используется уравнение

,

где Е – кинетическая энергия; m – масса материальной точки; v – скорость движения материальной точки.

Для образования когерентной производной единицы энергии СИ используют уравнения

или

.

Таким образом, единицей энергии СИ является джоуль, равный ньютон-метру.

Производные единицы могут иметь специальные наименования и обозначения. Имеют место случаи, когда для выражения производных единиц СИ применяются собственные наименования (прил. А). Эти единицы могут быть использованы для образования других производных единиц СИ (прил. Б).

В приложение А включены единица плоского угла – радиан и единица телесного угла – стерадиан. Единица плоского угла – радиан (рад) – угол между радиусами окружности, дуга между которыми по длине равна радиусу. В градусном исчислении 1 рад = 57 ° 17 ' 44,8 ''. За единицу телесного угла принимается стерадиан (ср) – телесный угол, вершина которого расположена в центре сферы и который вырезает на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, по длине равной радиусу сферы. Телесный угол Ω измеряют косвенно – путем измерения плоского угла α при вершине конуса с последующим вычислением по формуле

Телесному углу в 1 ср соответствует плоский угол, равный 65˚32', углу π ср – плоский угол 120˚, углу 2π ср – плоский угол 180˚. Для измерения углов применяют угловые градусы, минуты и секунды. Приборов для измерения углов в радианах нет. Единицы плоского и телесного углов используются для образования производных единиц, например угловой скорости и углового ускорения.

В Международную систему единиц при ее принятии в 1960 г. на XI Генеральной конференции по мерам и весам входило три класса единиц: основные, производные и дополнительные (радиан и стерадиан). Единицы радиан и стерадиан классифицировались как дополнительные, однако оставался открытым вопрос о том, являются они основными единицами или производными. В целях устранения двусмысленного положения этих единиц Международный комитет мер и весов в 1980 г. решил интерпретировать класс дополнительных единиц СИ как класс безразмерных производных единиц, для которых Генеральная конференция по мерам и весам оставляет открытой возможность применения или неприменения их в выражениях для производных единиц СИ. В 1995 г. XX Генеральная конференция по мерам и весам постановила исключить класс дополнительных единиц в СИ, а радиан и стерадиан считать безразмерными производными единицами СИ, имеющими специальные наименования и обозначения и которые могут быть использованы или не использованы в выражениях для других производных единиц СИ.