Математические основы векторной графики

Векторная графика

Если в растровой графике базовым элементом изображения является точка, то в векторной графике — линия. Линия описывается математически как единый объект, и потому объем данных для отображения объекта средствами векторной графики существенно меньше, чем в растровой графике.

Линия — элементарный объект векторной графики. Как и любой объект, линия обладает свойствами: формой (прямая, кривая), толщиной, цветом, начертанием (сплошная, пунктирная). Замкнутые линии приобретают свойство заполнения. Охватываемое ими пространство может быть заполнено другими объектами (тек­стуры, карты) или выбранным цветом.

Простейшая незамкнутая линия ограничена двумя точками, именуемыми узлами. Узлы также имеют свойства, параметры которых влияют на форму конца линии и характер сопряжения с другими объектами.

Все прочие объекты векторной графики составляются из линий. Например куб можно составить из шести связанных прямоугольников, каждый из которых, в свою очередь, образован четырьмя связанными линиями. Возможно представить куб и как двенадцать связанных линий, образующих ребра.

Рассмотрим подробнее способы представления различных объектов в векторной графике.

Точка. Этот объект на плоскости представляется двумя числами (х, у), указываю­щими его положение относительно начала координат.

Прямая линия. Ей соответствует уравнение у = kx + b. Указав параметры k и b, всегда можно отобразить бесконечную прямую линию в известной системе коор­динат, то есть для задания прямой достаточно двух параметров.

Отрезок прямой. Он отличается тем, что требует для описания еще двух парамет­ров — например, координат х₁ и х₂ начала и конца отрезка.

Кривая второго порядка. К этому классу кривых относятся параболы, гиперболы, эллипсы, окружности, то есть все линии, уравнения которых содержат степени не выше второй. Кривая второго порядка не имеет точек перегиба. Прямые линии являются всего лишь частным случаем кривых второго порядка. Формула кривой второго порядка в общем виде может выглядеть, например, так: x² + a₁y² + a₂xy + a₃ x + a₄ y + a₅ = 0.

Таким образом, для описания бесконечной кривой второго порядка достаточно пяти параметров. Если требуется построить отрезок кривой, понадобятся еще два пара­метра.

Кривая третьего порядка. Отличие этих кривых от кривых второго порядка состоит в возможном наличии точки перегиба. Например график функции у = x³ имеет точ­ку перегиба в начале координат (рис. 15.5). Именно эта особенность позволяет сде­лать кривые третьего порядка основой отображения природных объектов в век­торной графике. Например линии изгиба человеческого тела весьма близки к кривым третьего порядка. Все кривые второго порядка, как и прямые, являются частными случаями кривых третьего порядка.

В общем случае уравнение кривой третьего порядка можно записать так:

x³ + а₁ y³ + a₂x²y + a₃ ху² + а₄ x² + a₅ y² + a₆ xy + а₇ х + а₈ y + a₉ = 0

Таким образом, кривая третьего порядка описывается девятью параметрами. Опи­сание ее отрезка потребует на два параметра больше.

Кривые Безье. Это особый, упрощенный вид кривых третьего порядка (см. рис. 15.5). Метод построения кривой Безье (Bezier) основан на использовании пары касатель­ных, проведенных к отрезку линии в ее окончаниях. Отрезки кривых Безье описы­ваются восемью параметрами, поэтому работать с ними удобнее. На форму линии влияет угол наклона касательной и длина ее отрезка. Таким образом, касательные играют роль виртуальных «рычагов», с помощью которых управляют кривой.