Расширенные РС-коды

Как известно из теории групповых кодов, введение в кодовой комбинации дополнительной проверки на четность во многих случаях увеличивает минимальное расстояние кода на одну единицу. Для РС-кодов это явление наблюдается всегда [3]. Пусть C = c ₀, c ₁, …, c_{N –1} кодовая комбинация РС-кода с весом D. Введем дополнительную проверку на четность по правилу

.

Покажем, что минимальный вес кодовой комбинации C при 1-расширении увеличивается до D +1. Это возможно при условии, что

,

но C (x) = a (x) g (x) для некоторого a (x), так что C (1)= a (1) g (1). Очевидно g (1)¹0. Кроме того a (1)¹0, иначе C (x) делилось бы на (x –1)× g (x), т.е. уже имело бы вес D +1.