Оценка необходимой разрядности процессора для приложений ЦОС. Динамический диапазон чисел в разных форматах и диапазон значений

Диапазон представления чисел устанавливает границы между минимально и максимально допустимыми значениями, представляемыми в заданном формате и коде.

Динамический диапазон (ДД) определяется как:

Максимально допустимая ошибка при представлении дробных чисел равна:

- при округлении 2^-(^b⁺¹⁾=2^-^m – половине младшего значащего бита (половине шага квантования);

- при усечении 2^-^b – младшему значащему биту (шагу квантования).

Точность представления чисел определяет максимально допустимую точность представления дробной части вещественных чисел (в двоичном формате дробные числа представляются приближенно):

где макс. значение соответствует:

- для дробных чисел – максимальному (по модулю) значению, представленному в заданном формате и коде;

- для смешанных чисел (содержащих и целую и дробную части, например, регистров-аккумуляторов операций умножения с накоплением) - максимальному (по модулю) значению дробной части числа, представленной в заданном формате и коде.

Наличие расширения во внутренних регистрах вычислительных блоков большинства современных DSP-процессоров позволяет хранить при внутренних вычислениях смешанные числа. Диапазон их представления в двоичном коде определяется как:

-2^EXT £ C £ 2^EXT – 2^-( ^k ^–^EXT^{– 1)},

где C – значение смешанного числа; k – длина расширенного слова, равная длине смешанного числа со знаком; EXT – длина расширения, равная длине целой части числа; (k ‑EXT‑1) – длина дробной части числа.

Динамический диапазон равен

Точность представления дробной части смешанного числа в соответствии с определением

бит,

где 2^-( ^k ^-^EXT⁾=2^-( ^k ^-^EXT^-1)-1 – максимально допустимая ошибка при округлении дробной части числа, равная половине младшего значащего бита.

Примеры динамических диапазонов знаковых смешанных слов в зависимости от длины смешанного слова и количества разрядов, приходящихся на целую и дробную части:

Разрядность k (битов)	Длина расширения EXT (битов)	Точность представления дробной части (k -EXT)	Диапазон представления	ДД (дБ)
			-2⁸ £ C £ 2⁸ – 2^-31 -256…256‑(4,6e-10)	2³⁹ 234,8
			-2⁸ £ C £ 2⁸ – 2^-47 -256…256‑(7,1e-15)	2⁵⁵ 331,1
			-2¹⁶ £ C £ 2¹⁶ – 2^-63 -65536…65536‑(1,1e-19)	2⁷⁹ 475,6

Каждый дополнительный бит, используемый в ЦСП для представления или обработки чисел повышает отношение сигнал/шум примерно на 6 дБ. Диапазоны значений и динамические диапазоны при представлении чисел в различных форматах приведены в табл.

Иногда для повышения динамического диапазона обрабатываемых значений используется моделирование ПЗ-арифметики на ФЗ-процессорах. При таком моделировании для хранения ПЗ-числа требуются две ячейки: одно для мантиссы, другое – для экспоненты.

В архитектуре ФЗ-процессоров предусмотрены специальные операции, позволяющие моделировать ПЗ-представление чисел:

- нормализация числа (осуществление сдвига числа влево до тех пор, пока значения знакового и старшего значащего битов перестанут совпадать, с сохранением в специальном регистре числа сдвигов – двоичного порядка числа);

- выделение порядка для блока чисел, когда внутри блока выделяется самое большое по модулю число, оно нормализуется, в специальном регистре сохраняется его порядок, а все остальные числа блока представляются в формате с тем же порядком, что у наибольшего числа.

Блочная ПЗ-арифметика эффективна для представления малых (по модулю) чисел с небольшим разбросом значений. Моделировать такие вычисления целесообразно только если их объем невелик, в противном случае имеет смысл использовать ПЗ-процессор.

Табл.

Формат	Разрядность	Значащих битов	Вес младшего разряда	Диапазон значений (представления)	ДД, дБ
Целочисленный беззнаковый				0 £ C £ (2¹⁶-1) 0…65535	96,3
			0 £ C £ (2²⁴-1) 0…16777215	144,5
			0 £ C £ (2³²-1) 0…4294967295	192,7
Целочисленный знаковый				-2¹⁵ £ C £ (2¹⁵-1) -32768…32767	90,3
			-2²³ £ C £ (2²³-1) -8388608…8388607	138,5
			-2³¹ £ C £ (2³¹-1) -2147483648…2147483647	186,6
Дробный беззнаковый			2^-16 0,000015	0 £ C £ (1-2^-1⁶) 0,0…0,999985	96,3
		2^-24 0,0000000596	0 £ C £ (1-2^-24) 0,0…0,9999999404	144,5
		2^-32 0,00000000023	0 £ C £ (1-2^-32) 0,0…0,99999999977	192,7
Дробный знаковый			2^-15 0,000031	-1 £ C £ (1-2^-15) -1,0…0,999969	90,3
		2^-23 0,00000012	-1 £ C £ (1-2^-23) -1,0…0,99999988	138,5
		2^-31 0,00000000047	-1 £ C £ (1-2^-31) -1,0…0,99999999953	186,6
С плавающей точкой		смещ. порядок-8 мантисса-24, дробн.часть-23, неявная-1 -126 £ e £ 127	min (при e = -126, m=1,00… 0) – 1,4 * 10^-45 max (при e = 127, m=1,00… 0) – 2 * 10³¹	(+/-) 1 * 2^-126 £ C £ (2-2^-23) * 2¹²⁷ C>0: -3,4 * 10³⁸… -1,18 * 10^-38 C<0: 1,18 * 10³⁸…3,4 * 10³⁸ (есть разрыв около нуля!!!)
	смещ. порядок-8 мантисса-32, дробн.часть-31, неявная-1 -126 £ e £ 127

Операции, выполняемые ЦСП над числами, приводят к получению результатов, которые могут потребовать для своего хранения больше битов, чем отводится разрядной сеткой процессора. Для решения этой проблемы применяют описанные выше усечение и округление результатов до заданной разрядности. Это, а также возможные переполнения в процессе обработки сигналов, являются одними из основных источников ошибок в системах ЦОС, приводящих к снижению динамического диапазона сигнала.

Предположим, что с выхода АЦП поступает 16-разрядный цифровой сигнал с динамическим диапазоном 96 дБ. При использовании для его обработки 16-разрядного ЦСП и наличия в алгоритме обработки нескольких операций умножения, умножения с накоплением и т.п. в результате накопления ошибок округления и усечения ошибка распространится на младшие биты значений сигнала. Происходит сокращение динамического диапазона сигнала, уменьшается ОСШК и, следовательно, ухудшается качество сигнала (распространение ошибки на каждый следующий разряд приводит к снижению ОСШК на 6 дБ, см. рис.3.1). При использовании 16-разрядного ЦСП искажения, внесенные в процессе цифровой обработки, попадут в выходной сигнал и приведут к снижению динамического диапазона до 96 – 18 = 78 дБ. При использовании 24-разрядного ЦСП ошибки квантования и усечения не превысят пороговый уровень шума для АЦП и не приведут к ухудшению качественных характеристик сигнала.

Одним из основных правил при использовании систем ЦОС является выбор ЦСП и алгоритмов обработки сигналов, обеспечивающих если не поддержку на исходном уровне, то минимальное снижение динамического диапазона сигнала. С этой целью разрядность ЦСП обычно выбирается "с запасом" в зависимости от сложности алгоритмов обработки.