Элементы теории игр

В предыдущих разделах изучаемого курса были рассмотрены задачи принятия решений в детерминированных ситуациях, или в неопределенных ситуациях, вызванных наличием случайных факторов с известными вероятностными характеристиками. Однако существуют реальные задачи, в которых необходимо принимать решения в таких неопределенных ситуациях, когда известны лишь области возможных значений неопределенных факторов, но неизвестны их законы распределения. Такие ситуации возникают тогда, когда в операции кроме оперирующей стороны принимают участи лица или автоматы, преследующие отличные от оперирующей стороны цели. Такие ситуации называются конфликтными. необходимость анализа этих ситуаций при принятии решения потребовала разработку специального математического аппарата, получившего название «Теория игр». Задача теории игр – выработка рекомендаций по рациональному образу действий участников конфликта.

Основные понятия и определения.

Любая реальная конфликтная ситуация бывает очень сложной, ее анализ затруднен из-за наличия многих второстепенных факторов. Чтобы сделать возможным математический анализ ситуации, необходимо отвлечься от второстепенных факторов и построить упрощенную, схематизированную модель ситуации. Такая модель называется ИГРОЙ.

Игры бывают ПАРНЫЕ и МНОЖЕСТВЕННЫЕ. В первом случае число участников равно двум, во втором – более двух. Участники множественной игры могут образовывать КОАЛИЦИИ (постоянные или временные), когда их цели совпадают. Игра с двумя постоянными коалициями превращается в парную. Наибольшее практическое значение имеют парные игры.

Пусть имеется парная игра, в которой участвуют два игрока А и В с противоположными интересами. Под ИГРОЙ понимается мероприятие, состоящее из ряда действий, или ходов, сторон А и В. Каждая партия в игре заканчивается выигрышем только одного из игроков.

Чтобы игра могла быть подвергнута математическому анализу, необходимо четко сформулировать ПРАВИЛА ИГРЫ, под которыми понимается система условий, регламентирующая:

1. возможные варианты действий игроков;

2. объем информации каждой стороны о поведении другой;

3. исход игры, к которому приводит каждая совокупность ходов.

Исход игры должен оцениваться КОЛИЧЕСТВЕННО. Если это не вытекает из сути игры, то можно условно выразить исход игры числом. Например, в шахматной игре выигрышу приписывается значение 1, проигрышу – 0, ничьей – 0,5.

Игра называется ИГРОЙ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ, если один игрок выигрывает ровно столько, сколько проигрывает другой, т.е. сумма выигрышей сторон равна нулю. Таким образом, в игре с нулевой суммой интересы игроков прямо противоположны. Если а - выигрыш игрока А, b - выигрыш игрока В, то a+b=0, следовательно a=-b. Поэтому при анализе такой игры достаточно рассмотреть выигрыш одного из игроков. Пример игры с нулевой суммой – шахматная игра, а игры с ненулевой суммой – карточная игра с банкиром, который держит банк и забирает часть выигрыша себе.

Игра по времени разворачивается в виде последовательности ХОДОВ. Ходом в теории игр называется выбор одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление. Ходы бывают личные и случайные. При личном ходе игрок сам принимает решение об осуществлении одного из возможных вариантов действий. При случайном ходе такое решение принимается на основе какого-либо механизма случайного выбора (бросание монеты, выбор карты из перетасованной колоды, датчик случайных чисел и т.п.). Некоторые игры состоят только из случайных ходов (чисто азартные игры), или только из личных ходов (шахматы и т.д.), либо содержат как личные, так и случайные ходы (карточные игры).

Теория игр занимается анализом только тех игр, которые содержат личные ходы. Ее задача – дать рекомендации игрокам при выборе их личных ходов в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры.

СТРАТЕГИЕЙ игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе этого игрока в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно, принимая участие в игре, игрок не следует каким-либо жестким, фиксированным правилам: выбор при каждом личном ходе принимается им в ходе игры в зависимости от конкретной сложившейся ситуации. Однако теоретически дело не изменится, если мы представим себе, что все эти решения приняты игроком заранее («если сложится такая-то ситуация, то я поступлю так-то...»). В принципе это возможно при любой игре. Если такая система решений будет принята, это будет означать, что игрок выбрал определенную стратегию. Теперь он может не участвовать в игре лично, а заменить свое участие списком правил, которые за него будет применять незаинтересованное лицо. Именно так играет в шахматы ЭВМ.

Игра называется КОНЕЧНОЙ, если у каждого игрока имеется только конечное число стратегий, и БЕСКОНЕЧНОЙ, если хотя бы у одного из игроков имеется бесконечное число стратегий.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого из игроков.

ОПТИМАЛЬНОЙ СТРАТЕГИЕЙ игрока называется такая стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или минимально возможный средний проигрыш).

При выборе этой стратегии основой рассуждения является предположение, что противник по меньшей мере так же разумен, как и мы сами, и делает все для того, чтобы помешать нам добиться своей цели. Таким образом в теории игр все рекомендации определяются без учета возможных просчетов и ошибок игроков, а также элементов азарта и риска.

Игра называется игрой с ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ, если результаты случайных ходов и предыдущих личных ходов полностью известны каждому игроку. В противном случае игра является игрой с НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ. Например, шахматы и шашки – игры с полной информацией, а карточные игры – с неполной информацией.