Сведения о преобразовании Лапласа-Стилтьеса

Пусть – функция распределения случайной величины. Тогда

есть преобразование Лапласа-Стилтьеса этой функции. Например, если функция распределения характеризует экспоненциальную случайную величину , то легко получить .

Следует отличать преобразование Лапласа-Стилтьеса от обычного преобразования Лапласа . Связь между этими преобразованиями легко получить путем выполнения интегрирования по частям:

.

Тогда для экспоненциального распределения

.

Обратим внимание на некоторые важные свойства преобразования.

1. Важным свойством преобразования Лапласа-Стилтьеса является то, что преобразование Лапласа-Стилтьеса суммы случайных величин равно произведению преобразований Лапласа-Стилтьеса каждой из этих величин.

2. Если есть k-й момент случайной величины относительно начала координат, то

,

т. е. моменты случайной величины определяются дифференцированием в нуле (при ) соответствующее число раз преобразования Лапласа-Стилтьеса функции распределения этой величины. Первый центральный момент определяет математическое ожидание (среднее значение) случайной величины,

,

а второй момент нужен для нахождения дисперсии случайной величины

.

3. Вероятностный смысл преобразования Лапласа-Стилтьеса. Величина есть вероятность сложного события, состоящего в том, что случайная величина не превысит значения (сомножитель ), а кроме того, за время не произойдет ни одной “катастрофы” (сомножитель ). Параметр рассматривается как интенсивность “катастроф”. Интегрирование по всему диапазону дает . Таким образом, вероятностный смысл преобразования Лапласа-Стилтьеса состоит в том, что оно определяет вероятность того, что за время не произойдет ни одной «катастрофы».

Распределение Пуассона задает число «катастроф» на отрезке в соответствии с формулой , где s – интенсивность «катастроф», k – число «катастроф» на отрезке . Если , то катастроф не было, а вероятность этого равна . Более подробное изложение сведений о распределении Пуассона – в разделе, посвященном случайным процессам.

7. ЦЕПИ МАРКОВА. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Рассмотрим независимые испытания, которые можно описать следующим образом. Задано множество возможных исходов (в конечном или бесконечном числе), и каждому из них соотнесена некоторая вероятность ; вероятности последовательностей исходов определяются по правилу умножения: . В теории цепей Маркова мы рассматриваем простейшее обобщение этой схемы, которое состоит в том, что для любого испытания допускается зависимость его от непосредственно предшествующего ему испытания (и только от него). С исходом не связана более фиксированная вероятность , но зато каждой паре теперь соответствует условная вероятность ; при условии, что появился в некотором испытании, вероятность появления в следующем испытании равна . Помимо нам должны быть заданы вероятности исходов в начальном испытании. Чтобы имели приписанный им смысл, вероятности последовательностей исходов, соответствующих двум, трем или четырем испытаниям, должны быть определены равенствами

и вообще

(1)

Здесь начальному испытанию присвоен номер нуль, так, что испытание номер один является вторым.

Определение. Последовательность испытаний с возможными исходами называется цепью Маркова, если вероятности последовательностей исходов определяются формулой (1) через распределение вероятностей для в начальном (или нулевом) испытании и через фиксированные условные вероятности появления при условии, что в предыдущем испытании появился .

Для приложений цепей Маркова удобнее несколько видоизмененная технология. Возможные исходы обычно называются возможными состояниями системы; вместо того, чтобы говорить, что -е испытание окончилось появлением , говорят, что -й шаг приводит к состоянию или что система попадает в на -м шаге. Наконец, называется вероятностью перехода из в . Как обычно, мы считаем, что испытания происходят через равные интервалы времени, так что номер шага служит временным параметром.

Вероятности перехода будут расположены в матрицу переходных вероятностей

(2)

где первый индекс означает номер строки, а второй – номер столбца. Ясно, что – квадратная матрица с неотрицательными элементами и единичными суммами по строкам. Такая матрица (конечная или бесконечная) называется стохастической матрицей. Любая стохастическая матрица может служить матрицей переходных вероятностей; вместе с нашим начальным распределением она полностью определяет цепь Маркова с состояниями .

В некоторых частных случаях бывает удобно нумеровать состояния, начиная с 0, а не с 1. Тогда к матрице следует добавить нулевые строку и столбец.

2. Пояснительные примеры

а) Когда у цепи есть только два возможных состояния , матрица переходных вероятностей с необходимостью имеет вид

.

Подобная цепь могла бы быть реализована в следующем мысленном эксперименте. Частица движется вдоль оси таким образом, что абсолютная величина ее скорости остается постоянной, но направление движения может меняться на противоположное. Говорят, что система находится в состоянии , если частица движется направо, и в состоянии , если она движется налево. Тогда – вероятность поворота, когда частица движется направо, а – вероятность поворота при движении налево.

б) Случайное блуждание с поглощающими экранами. Пусть возможными состояниями будут ; рассмотрим матрицу переходных вероятностей

.

Из каждого “внутреннего” состояния возможны переходы в правое и левое соседние состояния (с вероятностями и ). Однако ни из ни из невозможны переходы в какое либо иное состояние; система будет переходить из одного состояния в другое, но коль скоро будет достигнуто или система останется неизменной навсегда.

в) Отражающие экраны. Интересный вариант предыдущего примера представляет собой цепь с возможными состояниями и переходными вероятностями

.

Эту цепь можно интерпретировать на языке азартных игр, рассматривая двух игроков, ведущих игру с единичными ставками и с соглашением, что каждый раз, когда один из игроков проигрывает свой последний доллар, тот немедленно возвращается ему его противником, так, что игра может продолжаться бесконечно. Мы предполагаем, что игроки вместе имеют долларов, и мы говорим, что система находится в состоянии , если их капиталы равны и соответственно. Тогда переходные вероятности даются нашей матрицей .