Решение задачи № 1

Запишем коротко условие и покажем решение:

· m (Е) = 40

· m (А) = 20

· m (В) = 18

· m (С) = 18

· m (А∩В) = 7

· m (А∩С) = 8

· m (В∩С) = 9

___________

m (А В С) = 3 => m (А В С) = 40 – 3 = 37

Обозначим разбиение универсального множества Е множествами А, В, С (рис.5).

(рис.5)

К1 – множество учеников, решивших только одну задачу по алгебре;

К2 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и геометрии;

К3 – множество учеников, решивших только задачу по геометрии;

К4 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и тригонометрии;

К5 – множество всех учеников, решивших все три задачи;

К6 – множество всех учеников, решивших только две задачи, по геометрии и тригонометрии;

К7 – множество всех учеников, решивших только задачу по тригонометрии;

К8 – множество всех учеников, не решивших ни одной задачи.

Используя свойство мощности множеств и рисунок можно выполнить вычисления:

· m (К5) = m (А∩В∩С)= m (А В С) - m (А) - m (В) - m (С) + m (А∩В) + m (А∩С) + m (В∩С)

· m (К5) = 37-20-18-18+7+8+9=5

· m (К2) = m (А∩В) - m (К5) = 7-5=2

· m (К4) = m (А∩С) - m (К5) = 8-5=3

· m (К6) = m (В∩С) - m (К5) = 9-5=4

· m (К1) = m (А) - m (К2) - m (К4) - m (К5) = 20-2-3-5=10

· m (К3) = m (В) - m (К2) - m (К6) - m (К5) = 18-2-4-5=7

· m (К7) = m (С) - m (К4) - m (К6) - m (К5) = 18-3-4-5 =6

· m (К2) + m (К4) + m (К6) = 2+3+4=9 – число учеников решивших только две задачи;

· m (К1) + m (К3) + m (К7) = 10+7+6=23 – число учеников решивших только одну задачу.

Ответ:

5 учеников решили три задачи;

9 учеников решили только по две задачи;

23 ученика решили только по одной задаче.

С помощью этого метода можно записать решения второй и третьей задачи так: